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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Fr 30.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \IR^{n} [/mm] ausgestattet mit der Maximumsnorm. Sei [mm] (a^{k})_{k \in \IN} [/mm] eine Folge in [mm] \IR^{n}, [/mm] und zu k [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] a^{k}=(a_{1}^{k},...,a_{n}^{k}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (a^{k})_{k \in \IN} [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] (a_{j}^{k})_{k \in \IN} [/mm] konvergiert für j [mm] \in \IN, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n. |
N'abend Leute,
also die Hinrichtung habe ich bereits gezeigt. Allerdings fällt mir die Rückrichtung schwer, weil ich nicht weiß wie ich [mm] \varepsilon [/mm] wählen soll, damit es klar ist.
Also, hier mein Versuch:
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Annahme: [mm] a_{j}^{k} \to a_{j}, [/mm] k [mm] \to \infty
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig aber fest gewählt und [mm] N_{0} \in \IN, [/mm] so dass
[mm] |a_{j}-a_{j}^{k}| \le \varepsilon
[/mm]
für alle [mm] 1\le [/mm] j [mm] \le [/mm] n. Dann gilt
[mm] \parallel a^{k}-a \parallel_{\infty}=\summe_{j=1}^{n}|a_{j}^{k} [/mm] - [mm] a_{j}| \le \varepsilon
[/mm]
Also ich weiß, dass es so nicht hinkommt, allerdings weiß ich nicht wie ich es wählen könnte...
Weiß jemand Rat?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Sa 01.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du wählst immer erst mal ein [mm] \epsilon_1 [/mm] dann siehst du, wenn du es in deiner Abschätzung verwendest wie groß (bzw klein) es im Verhältnis zu dem endgültigen [mm] \epsilon [/mm] sein muss, bie n komponenten ist [mm] \epsilon_1=\epsilon/n [/mm] naheliegend.
daz solltest du aber die maxNorm ausschreiben.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]\IR^{n}[/mm] ausgestattet mit der
> Maximumsnorm. Sei [mm](a^{k})_{k \in \IN}[/mm] eine Folge in
> [mm]\IR^{n},[/mm] und zu k [mm]\in \IN[/mm] sei
>
> [mm]a^{k}=(a_{1}^{k},...,a_{n}^{k}).[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm](a^{k})_{k \in \IN}[/mm] genau dann
> konvergiert, wenn [mm](a_{j}^{k})_{k \in \IN}[/mm] konvergiert für
> j [mm]\in \IN,[/mm] 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] n.
> N'abend Leute,
>
> also die Hinrichtung habe ich bereits gezeigt. Allerdings
> fällt mir die Rückrichtung schwer, weil ich nicht weiß
> wie ich [mm]\varepsilon[/mm] wählen soll, damit es klar ist.
>
> Also, hier mein Versuch:
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
> Annahme: [mm]a_{j}^{k} \to a_{j},[/mm] k [mm]\to \infty[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig aber fest gewählt und [mm]N_{0} \in \IN,[/mm]
> so dass
>
> [mm]|a_{j}-a_{j}^{k}| \le \varepsilon[/mm]
> für alle [mm]1\le[/mm] j [mm]\le[/mm] n.
> Dann gilt
>
> [mm]\parallel a^{k}-a \parallel_{\infty}=\summe_{j=1}^{n}|a_{j}^{k}[/mm]
> - [mm]a_{j}| \le \varepsilon[/mm]
da stimmt was nicht:
Du verwechselst hier nämlich die [mm] $\|.\|_1$ [/mm] mit der [mm] $\|.\|_\infty$=Maximumsnorm.
[/mm]
Es ist
[mm] $$\|x\|_\infty=\|x\|_\text{max}=\max\{|x_1|,...,|x_n|\}$$
[/mm]
und es ist
[mm] $$\|x\|_1=\sum_{k=1}^n |x_k|\;\;\;\Bigg(=\sqrt[\red{1}]{\sum_{k=1}^n |x|^\red{1}}\Bigg)$$
[/mm]
für [mm] $x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n\,.$
[/mm]
Mit der "richtigen" Maximumsnorm (nicht 1-Norm) ist man schnell fertig, lies' etwa hier (klick!).
P.S. Weil's gerade so schön ist: Wenn Du magst, zeig', dass [mm] $\|.\|_1$ [/mm] und
[mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent sind und folgere somit, dass
der oben zu beweisende Satz genauso gilt, wenn man [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] durch
[mm] $\|.\|_1$ [/mm] ersetzt. Oder zeige meinetwegen die Aussage auch nochmal
separat für [mm] $\|.\|_1$ [/mm] (das hast Du ja eigentlich eh versucht, auch, wenn
die Aufgabenstellung das nicht vorgesehen hat...)!
Gruß,
Marcel
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