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Hallo,
Ich möchte mir gerne selbst ein paar allgemein gültige komplexe Mengen zusammenstellen:
für [mm] a\in\IR
[/mm]
[mm] z^n=a [/mm] hat die Lösungsmenge= [mm] \{ |a|^{1/n}*e^{(2*\pi*i*k)/n},k\in{0,...,n-1}\}
[/mm]
(müsste so stimmen oder?)
wie sieht nun aber die Lösungsmenge für
[mm] z^n=a^n [/mm] mit [mm] a\in\IR [/mm] aus?
Kann mir hier jemand weiterhelfen? Meine Versuche diese Lösungsmenge selbst aufzustellen sind leider gescheitert.
Vielen Dank im Vorraus für jegliche Antworten.
lg
RedSunset
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/
viewtopic.php?topic=108036&start=0&lps=786980#v786980]
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> Hallo,
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> Ich möchte mir gerne selbst ein paar allgemein gültige
> komplexe Mengen zusammenstellen:
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> für [mm]a\in\IR[/mm]
Statt $a$ auf [mm] $\IR$ [/mm] einzuschränken, kannst Du auch gleich [mm] $a\in \IC$ [/mm] zulassen.
>
> [mm]z^n=a[/mm] hat die Lösungsmenge= [mm]\{ |a|^{1/n}*e^
{(2*\pi*i*k/n},k\in\{0,...,n-1\}\}[/mm]
>
> (müsste so stimmen oder?)
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") Nicht ganz! - Gegenbeispiel: [mm] $z^3=1$ [/mm] und [mm] $z^3=-1$ [/mm] haben verschiedene Lösungsmengen, obwohl Deine obigen Formel für die Lösungsmenge in beiden Fällen dasselbe Ergebnis liefert. Es ist doch (für [mm] $a\in \IC\backslash\{0\}$)
[/mm]
[mm]\begin{array}{lcll}
\displaystyle z^n &=& a\\
\displaystyle z^n &=& \displaystyle |a|\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\arg(a)+2\pi k)} &k\in \IZ\\
z &=& \displaystyle |a|^{1/n}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\arg(a)+2\pi k)/n}
\end{array}[/mm]
Also wäre die Lösungsmenge in diesem allgemeineren Fall gleich
[mm]\mathcal{L}=\left\{|a|^{1/n}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\arg(a)+2\pi k)/n}\,|\,k\in \{0,\ldots, n-1\}\right\}[/mm]
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> wie sieht nun aber die Lösungsmenge für
>
> [mm]z^n=a^n[/mm] mit [mm]a\in\IR[/mm] aus?
Wo siehst Du ein Problem? - Wir können doch in der obigen Lösungsmenge von [mm] $z^n=a$ [/mm] einfach [mm] $a^n$ [/mm] für $a$ einsetzen und noch [mm] $|a^n|^{1/n}=|a|$ [/mm] berücksichtigen.
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