Komplexe zahlen multiplizieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Was passiert wenn man komplexe Zahlen addiert bzw. subtrahiert und mutipliziert bzw. dividiert? |
Ich habe zwei komplexe Zahlen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] im folgenden Koordinatensystem eingetragen.
Wenn ich die zwei komplexe Zahlen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] addiere, dann entspricht das der Vektoraddition.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was passiert wenn man [mm] z_1 [/mm] und [mm] Z_2 [/mm] miteinander multipliziert? wie müsste man [mm] z_1*z_2 [/mm] im Koordinatensystem zeichnen?
Hier kann ich es nicht mit der vektorrechnung vergleichen, weil wenn man 2 vektoren multipliziert, bekommt man ein Skalar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Di 22.03.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
beim multiplizieren addieren sich die Winkel zur x- Achse, und die Beträge=Längen multiplizieren sich. d.h. du findest graphisch leicht die Richtung von [mm] z_1*z_2 [/mm] , die Länge aber nicht, wenn die Beträge nicht gerade ganzzahlig sind.
Gruß leduart
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Wenn ich das richtig verstanden habe, dann dreht sich der Vektor bei einer multiplikation GEGEN den Uhrzeigersinn und bei einer division dreht sich der Vektor IM Uhrzeigersinn
[mm] z_1*z_2 [/mm] dreht sich gegen den uhrzeigersinn
[mm] z_1/z_2 [/mm] dreht sich im uhrzeigersinn
Die Länge des vektor (betrag) kann sich bei der Multiplikation [mm] z_1*z_2 [/mm] oder division [mm] z_1/z_2 [/mm] velängern oder verkürzen. Das hängt dann von den Beträgen der komplexen zahlen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] ab.
Stimmt das alles so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Di 22.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich das richtig verstanden habe, dann dreht sich der
> Vektor bei einer multiplikation GEGEN den Uhrzeigersinn und
> bei einer division dreht sich der Vektor IM Uhrzeigersinn
>
> [mm]z_1*z_2[/mm] dreht sich gegen den uhrzeigersinn
>
> [mm]z_1/z_2[/mm] dreht sich im uhrzeigersinn
>
> Die Länge des vektor (betrag) kann sich bei der
> Multiplikation [mm]z_1*z_2[/mm] oder division [mm]z_1/z_2[/mm] velängern
> oder verkürzen. Das hängt dann von den Beträgen der
> komplexen zahlen [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] ab.
>
> Stimmt das alles so?
Im wesentlichen schon. Machen wirs doch konkret: gegeben sind 2 komplexe Zahlen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] , beide [mm] \ne [/mm] 0.
Dann gibt es eindeutig bestimmte [mm] $\phi_1, \phi_2 \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$ [/mm] mit
[mm] z_1=|z_1|e^{i \phi_1} [/mm] und [mm] z_2=|z_2|e^{i \phi_2}.
[/mm]
Es folgt:
[mm] z_1*z_2=|z_1|*|z_2|e^{i(\phi_1+\phi_2)}
[/mm]
und
[mm] \bruch{z_1}{z_2}= \bruch{|z_1|}{|z_2|}*e^{i(\phi_1-\phi_2)}
[/mm]
FRED
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