Komplexe in polare Zahlenform < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sind die komplexen Zahlen [mm] Z_1 [/mm] = 2+i und [mm] Z_3 [/mm] = 1-3i. Berechnen Sie [mm] \bruch{Z_1}{Z_2} [/mm] in Polarform und in kartesicher Form. |
Hallo,
wäre nett wenn das jemand auf Korrektheit kontrollieren könnte. In der Lösung steht bei mir nämlich dieses Ergebnis in Polarform:
[mm] \bruch{Z_1}{Z_2}=\wurzel{\bruch{1}{2}}*e^{i98°}
[/mm]
Mein Lösungsweg:
[mm] \bruch{Z_1}{Z_2}=\bruch{2+i}{1-3i}=-\bruch{1}{10}+\bruch{7}{10}i \approx \wurzel{\bruch{1}{2}}*e^{-i81,87°}
[/mm]
Danke im voraus für die Korrektur.
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> Gegeben sind die komplexen Zahlen [mm]Z_1[/mm] = 2+i und [mm]Z_3[/mm] = 1-3i.
> Berechnen Sie [mm]\bruch{Z_1}{Z_2}[/mm] in Polarform und in
> kartesicher Form.
> Hallo,
>
> wäre nett wenn das jemand auf Korrektheit kontrollieren
> könnte. In der Lösung steht bei mir nämlich dieses Ergebnis
> in Polarform:
>
> [mm]\bruch{Z_1}{Z_2}=\wurzel{\bruch{1}{2}}*e^{i98°}[/mm]
>
> Mein Lösungsweg:
>
> [mm][mm] \bruch{Z_1}{Z_2}=\bruch{2+i}{1-3i}=-\bruch{1}{10}+\bruch{7}{10}i
[/mm]
Hallo,
hier hast Du dich verrechnet, aber das Ergebnis Deiner Musterlösung stimmt auch nicht.
Entschuldige, ich hatte mich vertan. Dein Ergebnis stimmt.
Gruß v. Angela
> approx [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}*e^{-i81,87°}
[/mm]
>
>
> Danke im voraus für die Korrektur.
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Hallo angela.h.b. und danke für die Hilfe.
Also ich habe das jetzt mehrmals nachgerechnet und ich komme immer wieder auf das selbe Ergebnis:
[mm] \bruch{Z_1}{Z_2} [/mm] = [mm] \bruch{2+i}{1-3i} [/mm] = [mm] \bruch{(2+1)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} [/mm] = [mm] \bruch{(2 + 6i + i -3)}{1 + 3i - 3i +9}= -\bruch{1}{10} [/mm] + [mm] (\bruch{7}{10})i
[/mm]
Umwandlung in Polarform:
[mm] -\bruch{1}{10} [/mm] + [mm] (\bruch{7}{10})i [/mm] = [mm] \wurzel{x^2 + y^2}*e^{i(arctan(\bruch{y}{x})} [/mm] = [mm] \wurzel{-\bruch{1}{10}^2 + \bruch{7}{10}^2}*e{^i(arctan(\bruch{\bruch{7}{10}}{-\bruch{1}{10}})} \approx \wurzel{\bruch{1}{2}}*e^{-i81,87}
[/mm]
Vielleicht könntest du mir zeigen an welcher Stelle ich konkret meinen Fehler mache.
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> Hallo angela.h.b. und danke für die Hilfe.
>
Hey!
> Also ich habe das jetzt mehrmals nachgerechnet und ich
> komme immer wieder auf das selbe Ergebnis:
>
> [mm]\bruch{Z_1}{Z_2}[/mm] = [mm]\bruch{2+i}{1-3i}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2+1)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}[/mm] = [mm]\bruch{(2 + 6i + i -3)}{1 + 3i - 3i +9}= -\bruch{1}{10}[/mm]
> + [mm](\bruch{7}{10})i[/mm]
>
Das ist alles korrekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Auch mein Rechner liefert mir diesen Wert.
> Umwandlung in Polarform:
>
> [mm]-\bruch{1}{10}[/mm] + [mm](\bruch{7}{10})i[/mm] = [mm]\wurzel{x^2 + y^2}*e^{i(arctan(\bruch{y}{x})}[/mm]
> = [mm]\wurzel{-\bruch{1}{10}^2 + \bruch{7}{10}^2}*e{^i(arctan(\bruch{\bruch{7}{10}}{-\bruch{1}{10}})} \approx \wurzel{\bruch{1}{2}}*e^{-i81,87\red{°}}[/mm]
Auch das sieht alles gut aus. Ich würde allerdings keinen negativen Winkel aufschrieben, das sieht so nach Taschenrechner aus. Besser ist hier [mm] \approx [/mm] 98° oder noch besser: [mm] \approx 0,54\pi
[/mm]
>
> Vielleicht könntest du mir zeigen an welcher Stelle ich
> konkret meinen Fehler mache.
Wenn du wirklich noch eine absolute Kontrolle haben willst, kannst du zunächst deine [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_2 [/mm] in Polarform umrechnen und erst dann dividieren.
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mi 11.03.2009 | | Autor: | isi1 |
Der Fehler:
Der arctan ist nicht eindeutig. Bei machen Rechnern gibt es atan2(Zähler, Nenner) ... da gehts dann. Hast Du das nicht, musst Du nachsehen, in welchem Quadranten Dein Ergebnis liegt und ggf. 180° addieren/subtrahieren.
Mein Rechner kann das (TI89), er bringt 98,13° raus.
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