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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Trapt_ka |
| Aufgabe | (sinh [mm] z)^2=-1
[/mm]
nach umformen zu
[mm] ((e^z-e^{-z)}/2)^2=-1
[/mm]
und umformen und Substitution mit
[mm] e^{2z}=w
[/mm]
folgt nach lösen w=-1
nun steht in der Lösung
[mm] w=-1=e^{i*(\pi+2\pi*n)}
[/mm]
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wie kommt man auf den letzten ausdruck
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> (sinh [mm]z)^2=-1[/mm]
> nach umformen zu
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> [mm]((e^z-e^{-z)}/2)^2=-1[/mm]
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> und umformen und Substitution mit
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> [mm]e^{2z}=w[/mm]
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> folgt nach lösen w=-1
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> nun steht in der Lösung
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> [mm]w=-1=e^{i*(\pi+2\pi*n)}[/mm]
>
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> wie kommt man auf den letzten ausdruck
Hallo,
das ist die Darstellung von w in trigonometrischer Form:
[mm] w=-1=-1+0\cdot [/mm] i [mm] \Rightarrow |w|=\wurzel{(-1)^2+0^2}=1 [/mm] und [mm] arg(w)=arg(-1)=\pi
[/mm]
Also [mm] w=|w|*(cos(arg(w))+i*sin(arg(w)))=1*(cos(\pi)+i*sin(\pi))
[/mm]
[mm] =(cos(\pi)+i*sin(\pi))=e^{i\pi}=e^{i(\pi+2\pi*n)}, [/mm] denn sinus und cosinus sind [mm] 2\pi [/mm] - periodisch
Gruß
schachuzipus
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