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| Aufgabe | Aufgabe 1
1. Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahlen 3 + 5i und -i.
2. Zeigen Sie, dass a + bi eC {0}, a, b e R, genau zwei Wurzeln besitzt. Wie lauten diese?
3. Berechnen Sie alle komplexen Wurzeln aus -2, 1 + 2i und 3i.
4. Bestimmen Sie mit dem binomischen Lehrsatz die komplexen Zahlen [mm] (2+i)^{6} [/mm] und [mm] (1-2i)^{5}. [/mm] |
Bitte euch um hilfe beim Lösungsansatz, wie ich an diese Aufgaben herangehen muss!
Dankeschön :)
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
für die erste Aufgabe brauchst Du die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl.
Sind die kartesischen Koordinaten einer komplexen Zahl [mm] z = a + ib [/mm], so ergibt sich die Polarkoordinatendarstellung
[mm] z = r e^{j \varphi} [/mm] mit
[mm] r = \wurzel{a^2 + b^2} [/mm] und
[mm] \varphi = \arctan{\bruch{b}{a} [/mm]
Da der Arcustangens nicht eineindeutig ist, solltest Du noch querchecken, in welchem Quadranten die Zahl liegt und gegebenenfalls noch 180 Grad dazuaddieren.
Für die weiteren Aufgabenteile ist der Satz von Moivre hilfreich, denn mit ihm lassen sich über die Darstellung in Polarkoordinaten leicht Potenzen bilden und Wurzeln ziehen.
Für Potenzen gilt:
[mm] z^n = r^n e^{in \varphi} = r^n \cdot (\cos (n\varphi) + i \sin (n \varphi)) [/mm] und beim Wurzelziehen
[mm] z^{\bruch{1}{n}} = r^{\bruch{1}{n}} \cdot e^{i(\bruch{\varphi}{n} + 2 \pi \bruch{k}{n}) } [/mm]
wobei k von 1 bis n läuft. Das lässt sich auch darstellen als
[mm] r^{\bruch{1}{n}} \cdot (\cos (\bruch{\varphi}{n} + \bruch{k}{n} 2 \pi) + i \sin (\bruch{\varphi}{n} + \bruch{k}{n} 2 \pi) ) [/mm]
Viel Spaß beim Rechnen,
Infinit
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