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| Aufgabe | a) Wie lautet die kartesische Darstellung der komplexen Zahl [mm] z=3*e^\frac{1}{6}^\pi^i[/mm]
b) Finden Sie alle komplexen Zahlen z, die die Gleichung [mm]z^4-6z^2+25=0[/mm] erfüllen.
c) Geben Sie diejenigen zwölften Einheitswurzeln an, deren Realteil negativ und Imaginärteil positiv ist. |
Hallo.
Hoffe mir kann jemand beim Lösen helfen.
Hier mal meine Ansätze:
zu a)
[mm]z=3*e^\frac{1}{6}^\pi^i [/mm]
[mm]= 3*\cos(\frac{\pi}{6})*i\sin(\frac{\pi}{6})[/mm]
[mm]= 3*0,8660*i0.5[/mm]
Ist das so richtig??
zu b)
[mm] z^4-6z^2+25=0
[/mm]
[mm]\gdw e^i^\varphi^*^4 - 6*e^i^\varphi^*^2+25 = 0[/mm]
Und ab da hörts bei mir leider schon wieder auf :(
Kann mir jemand helfen wie man bei solchen Sachen die Lösungen rausbekommt? Aus der Vorlesungsmitschrift werde ich irgendwie nicht schlauer.
zu c)
Da hab ich leider noch nicht mal eine Herangehensweise. :(
Könnt ihr mir irgend einen Tipp geben?
Mit freundlichem Gruß,
Tobi
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Hallo tobias155,
> a) Wie lautet die kartesische Darstellung der komplexen
> Zahl [mm]z=3*e^\frac{1}{6}^\pi^i[/mm]
> b) Finden Sie alle komplexen Zahlen z, die die Gleichung
> [mm]z^4-6z^2+25=0[/mm] erfüllen.
> c) Geben Sie diejenigen zwölften Einheitswurzeln an,
> deren Realteil negativ und Imaginärteil positiv ist.
> Hallo.
> Hoffe mir kann jemand beim Lösen helfen.
>
> Hier mal meine Ansätze:
>
> zu a)
> [mm]z=3*e^\frac{1}{6}^\pi^i[/mm]
> [mm]= 3*\cos(\frac{\pi}{6})*i\sin(\frac{\pi}{6})[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]= 3*\left( \ \cos(\frac{\pi}{6})\blue{+}i\sin(\frac{\pi}{6}) \ \right)[/mm]
> [mm]= 3*0,8660*i0.5[/mm]
>
> Ist das so richtig??
>
> zu b)
>
> [mm]z^4-6z^2+25=0[/mm]
>
> [mm]\gdw e^i^\varphi^*^4 - 6*e^i^\varphi^*^2+25 = 0[/mm]
>
> Und ab da hörts bei mir leider schon wieder auf :(
> Kann mir jemand helfen wie man bei solchen Sachen die
> Lösungen rausbekommt? Aus der Vorlesungsmitschrift werde
> ich irgendwie nicht schlauer.
>
Substituiere in der Gleichung
[mm]z^4-6z^2+25=0[/mm]
[mm]u:=z^{2}[/mm]
Dann ensteht eine quadratische Gleichung,
von der Du die Lösungen bestimmen kannst.
Hast Du die Lösungen u ermittelt, dann kannst
Du daraus die Lösungen z ermitteln.
> zu c)
>
> Da hab ich leider noch nicht mal eine Herangehensweise. :(
> Könnt ihr mir irgend einen Tipp geben?
>
Ich weiss nicht, ob diese Formel bekannt ist:
[mm]\wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{r}*\left( \ \cos\left(\bruch{\varphi+2*k*\pi}{n}\right)+i* \sin\left(\bruch{\varphi+2*k*\pi}{n}\right) \ \right)[/mm]
,.wobei [mm]z=1=r*e^{i*\varphi}, \ k=0... n-1, \ k \in \IZ[/mm] bedeuten.
> Mit freundlichem Gruß,
>
> Tobi
>
Gruss
MathePower
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Hallo, erst einmal Danke für deine Antwort.
Ja, bei a sollte es natürlich
[mm]3\cdot{}\left( \ \cos(\frac{\pi}{6})\blue{+}i\sin(\frac{\pi}{6}) \ \right)[/mm] heißen.
Kann man dann ja noch ausschreiben zu
[mm]3*(0,8660+i*0.5) = 2,598+1,5i[/mm]
Oder? Wie sähe die Lösung am besten aus (so wie es die Professoren am liebsten sehen würden)
zu b)
Ok habe das mit dem Substituieren versucht:
[mm]z^4-6z^2+25=0[/mm] | [mm]z^2=u[/mm]
Daraus ergibt sich: [mm]u^2-6u+25=0[/mm]
=> lösen mit der pq-Formel:
[mm]-3\pm\wurzel{9-25}[/mm]
[mm]= -3\pm\wurzel{-16}[/mm]
[mm]= -3\pm\wurzel{16i^2}[/mm]
[mm]= -3\pm4i[/mm]
[mm]u_1=-3+4i[/mm]
[mm]u_2=-3-4i[/mm]
Da [mm]u=z^2[/mm] ergibt sich:
[mm]z_1=(-3+4i)^2[/mm]
[mm]z_2=(-3-4i)^2[/mm]
Ist das die richtige Lösung? Hab ich was vergessen?
und zu c)
Das verstehe ich leider überhaupt nicht mit der Formel.
MfG Tobias
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Hallo Tobias,
> Ja, bei a sollte es natürlich
> [mm]3\cdot{}\left( \ \cos(\frac{\pi}{6})\blue{+}i\sin(\frac{\pi}{6}) \ \right)[/mm]
> heißen.
>
> Kann man dann ja noch ausschreiben zu
>
> [mm]3*(0,8660+i*0.5) = 2,598+1,5i[/mm]
Igitt. Lass mal die Finger von Dezimalbrüchen in solchen Zusammenhängen. Da erkennt man ja nicht mehr, dass 0,8660 einfach [mm] \tfrac{1}{2}\wurzel{3} [/mm] sein soll, ein Wert, den Du kennen und im Schlaf auswendig können solltest. [mm] \tfrac{\pi}{6} [/mm] gehört definitiv zu den Werten, für die man Sinus und Cosinus herbeten können muss.
Also: genaue Darstellung ist gefragt!
> Oder? Wie sähe die Lösung am besten aus (so wie es die
> Professoren am liebsten sehen würden)
Oh, nicht nur die Professoren...
> zu b)
>
> Ok habe das mit dem Substituieren versucht:
>
> [mm]z^4-6z^2+25=0[/mm] | [mm]z^2=u[/mm]
>
> Daraus ergibt sich: [mm]u^2-6u+25=0[/mm]
>
> => lösen mit der pq-Formel:
>
> [mm]-3\pm\wurzel{9-25}[/mm]
> [mm]= -3\pm\wurzel{-16}[/mm]
> [mm]= -3\pm\wurzel{16i^2}[/mm]
> [mm]= -3\pm4i[/mm]
Na, wie war das mit der pq-Formel? Die Wurzel ist noch ok, aber davor...
> [mm]u_1=-3+4i[/mm]
> [mm]u_2=-3-4i[/mm]
>
> Da [mm]u=z^2[/mm] ergibt sich:
>
> [mm]z_1=(-3+4i)^2[/mm]
> [mm]z_2=(-3-4i)^2[/mm]
Moment. Es gilt nicht [mm] z=u^2, [/mm] sondern umgekehrt!
> Ist das die richtige Lösung? Hab ich was vergessen?
Ja. Du sollst alle Lösungen für z berechnen. Die fehlen hier noch; Deine Lösung für u ist falsch und der Weg von u nach z stimmt auch nicht.
> und zu c)
>
> Das verstehe ich leider überhaupt nicht mit der Formel.
Schlecht. Verstehst Du Helbigs Hinweis weiter unten? Sonst schau Dir mal die  Moivre-Formel an, die ist hier letztlich gefragt und liegt beiden Dir schon gegebenen Antworten zugrunde.
Die Aufgabe fordert vier Lösungen von Dir. Eine davon hat den Realteil 0, eine andere den Imaginärteil 0, und die beiden übrigen sind tatsächlich genau wie gefordert.
Grüße
reverend
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Hallo reverend, danke für die Antwort.
Frage zu a):
Leider hab ich genau bei solchen Umformungen wie $ [mm] \tfrac{\pi}{6} [/mm] $ = $ [mm] \tfrac{1}{2}\wurzel{3} [/mm] $ Probleme.
Gibt es noch andere wichtige Werte, die man können sollte?
Dann nochmal neuer Ansatz zu b)
Vor der Wurzel muss es natürlich eine positive 3 sein. Flüchtigkeitsfehler...
[mm]3\pm\wurzel{9-25} [/mm]
[mm]3\pm\wurzel{-16}[/mm]
[mm]3\pm\wurzel{16i^2}[/mm]
$ [mm] u_1=3+4i [/mm] $
$ [mm] u_2=3-4i [/mm] $
Dann hab ich das genau falsch rum gemacht. Muss also die Wurzel ziehen.
$ [mm] z_1=\wurzel{3+4i} [/mm] $
$ [mm] z_2=\wurzel{3-4i} [/mm] $
Ich komme nur auf diese beiden Lösungen, weiß nicht, eigentlich müssten es doch 4 sein oder? Kann mir da nochmal jemand helfen? Ist der Rest so richtig?
zu c)
Werde mir die Formel nochmal genauer anschauen und versuche es zu verstehen.
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jede der 2 Wurzeln hat doch 2 vorzeichen!
jetzt musst du aber die Wurzeln noch ausrechnen! mit Hilfe der eponentialform und dann zurück in a+ib.
Und lass uns nicht zu viele Flüchtigkeitsfehler ausbessern, dazu braucht man eigentlich kein forum, nur langsameres arbeiten
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tobi,
zu c) fällt mir auch was ein:
Die 12-ten Einheitswurzeln sind ja gerade die Ecken eines regelmäßigen 12-Ecks, mit einer Ecke in $(1,0)$, das in den Einheitskreis einbeschrieben ist. Als komplexe Zahlen geschrieben ist das die Menge
$\left\{\exp\left(\bruch {2*\pi*i} {12} *k\right) \colon 0\le k \le 11\right\}$.
Nun mußt Du nur noch bestimmen, für welche $k$ der Realteil von $\exp\left(\bruch {2*\pi*i} {12} *k}\right)$, also $\cos \bruch \pi 6 *k$, negativ ist und für welche $k$ der Imaginärteil, also $\sin \bruch \pi 6 *k$, positiv ist.
Kommst Du damit weiter?
Wolfgang
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