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| Aufgabe | Welche komplexe Zahlen erfüllen die folgenden Bedingungen?
[mm] |\bruch{z-i}{z+i}|=1
[/mm]
Zeichnen Sie die Lösungsmengen in der Gaußschen Zahlenebene. |
Hi,
mir fehlt hier n bisschen der Ansatz. Ich denk mal ich muss auf die komplexe Kreisgleichung kommen ?!
Wenn ich für z=x+yi einsetze bringt mich das auch nicht unbedingt weiter... Ein Tipp wäre nicht schlecht 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Welche komplexe Zahlen erfüllen die folgenden Bedingungen?
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> [mm]|\bruch{z-i}{z+i}|=1[/mm]
>
> Zeichnen Sie die Lösungsmengen in der Gaußschen
> Zahlenebene.
> Hi,
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> mir fehlt hier n bisschen der Ansatz. Ich denk mal ich muss
> auf die komplexe Kreisgleichung kommen ?!
Nein
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> Wenn ich für z=x+yi einsetze bringt mich das auch nicht
> unbedingt weiter...
Doch, macht die Rechnung aber umständlich !
> Ein Tipp wäre nicht schlecht
Zunächst 2 Vorbemerkungen.
1. Beachte: $w [mm] \overline{w} [/mm] = [mm] |w|^2$ [/mm] für w [mm] \in \IC. [/mm] Das ist bei solchen Aufgaben oft hilfreich.
2. $ [mm] |\bruch{z-i}{z+i}|=1 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $|z-i| = |z+i|$. Was sagt uns das anschaulich ? Gesucht sind die Punkte z , die von $i$ genauso weit entfernt sind , wie von $-i$. Und das sind ??
Jawoll, die reellen z !
Und das rechnest Du jetzt mal selber nach (benutze meine erste Bemerkung !!):
$|z-i| = |z+i|$ [mm] \gdw $|z-i|^2 [/mm] = [mm] |z+i|^2$ \gdw [/mm] ....... [mm] \gdw [/mm] $z$ [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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Das mit der reellen Achse ist mir klar geworden nach dem Umstellen.
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> [mm]|z-i| = |z+i|[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|z-i|^2 = |z+i|^2[/mm] [mm]\gdw[/mm] ....... [mm]\gdw[/mm]
> [mm]z[/mm] [mm]\in \IR[/mm]
>
[mm] |z-i|^2 [/mm] hier wäre z.B. dann w=z-i oder?
[mm] |z-i|^2 [/mm] = [mm] |z+i|^2
[/mm]
(z+i)*(z-i)=(z-i)*(z+i)
Kann ja nicht sein, oder?
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> Das mit der reellen Achse ist mir klar geworden nach dem
> Umstellen.
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> > [mm]|z-i| = |z+i|[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|z-i|^2 = |z+i|^2[/mm] [mm]\gdw[/mm] ....... [mm]\gdw[/mm]
> > [mm]z[/mm] [mm]\in \IR[/mm]
> >
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> [mm]|z-i|^2[/mm] hier wäre z.B. dann w=z-i oder?
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> [mm]|z-i|^2[/mm] = [mm]|z+i|^2[/mm]
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> (z+i)*(z-i)=(z-i)*(z+i)
>
> Kann ja nicht sein, oder?
Hallo,
nein.
Beachte: z ist eine komplexe Zahl.
Das konjugiert-Komplexe von z-i ist also [mm] \overline{z-i}=\overline{z} [/mm] + i.
Gruß v. Angela
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