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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Do 05.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Zeige, dass für [mm] a,c\in\IR, b\in\IC, [/mm] die Menge M={ [mm] z\in\IC:az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0 [/mm] } eine Kreislinie oder eine Gerade ist, wenn [mm] ac-|b|^2<0 [/mm] ist.
Was ist M, wenn dies positiv oder 0 ist? |
Hallo zusammen!
Ich habe hier wieder eine Aufgabe, zu der ich zwar eine Lösung habe, zu der ich allerdings noch einige Fragen habe.
Kann mir jemand helfen?
Lösung
Sei z=x+iy, [mm] b=b_1+ib_2.
[/mm]
Man unterscheide zwei Fälle: [mm] a\not=0 [/mm] und a=0.
Fall 1
[mm] a\not=0
[/mm]
Dann gilt:
[mm] z\in\ [/mm] M
[mm] \gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0
[/mm]
[mm] \gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}+c=0
[/mm]
[mm] \gdw a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a})-\bruch{|b|^2}{a^2}+c=0
[/mm]
[mm] \gdw a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a^2}-c
[/mm]
[mm] \gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|=\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca) [/mm] (*)
[mm] \Rightarrow [/mm] M ist eine Kreislinie mit Mittelpunkt [mm] -\bruch{\overline{b}}{a}, [/mm] also [mm] (-\bruch{b_1}{a},\bruch{b_2}{a}), [/mm] und Radius [mm] \bruch{1}{a}\wurzel{|b|^2-ac}.
[/mm]
Die Wurzel ist gültig, da [mm] ac-|b|^2<0 [/mm] nach Voraussetzung, und somit [mm] |b|^2-ac>0.
[/mm]
Falls nun [mm] ac-|b|^2=0, [/mm] so folgt aus (*): [mm] M={-\bruch{\overline{b}}{a}}, [/mm] also nur ein Punkt.
Falls nun [mm] ac-|b|^2>0, [/mm] so folgt aus (*): M={}.
Fall 2
a=0
Dann gilt:
[mm] z\in\ [/mm] M
[mm] \gdw bz+\overline{bz}+c=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2Re(bz)+c=0
[mm] \gdw [/mm] 2b_1x-2b_2y+c=0
Unterfall 2a)
[mm] b_2\not=0 \Rightarrow y=\bruch{b_1}{b_2}x+\bruch{c}{b_2*c}
[/mm]
M ist eine Gerade.
Unterfall 2b)
[mm] b_2=0 \Rightarrow b_1\not=0, [/mm] da [mm] -|b|^2<0 \Rightarrow x=-\bruch{c}{2b_1}
[/mm]
M ist eine Gerade.
Falls [mm] -|b|^2\ge0 \Rightarrow [/mm] b=0 [mm] \Rightarrow M={z\in\IC:c=0}=\begin{cases} Leere Menge, & \mbox{für } c\not=0 \mbox{ } \\ \IC, & \mbox{für } c=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Fragen
1) Warum muss ich überhaupt eine Fallunterscheidung machen und warum unterscheide ich gerade zwischen a=0 und [mm] a\not=0?
[/mm]
2) Die Rechnung in Fall 1 ist mir soweit klar. Warum allerdings muss ich eine 0 einfügen in der Form von [mm] +\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a} [/mm] und wie komme ich auf diese Idee?
3) Wieso steht vor der Rechnung noch [mm] z\in [/mm] M [mm] \gdw?
[/mm]
4) Der Fall 2 ist mir nicht mehr so ganz klar. Funktionieren Geradengleichungen im Komplexen genauso wie im Reellen? Ich meine, da geht das doch nicht mehr so wirklich mit Steigung und y-Achsen-Abschnitt und so. Aber in Unterfall 2a) habe ich ja quasi eine reelle Geradengleichung stehen, y und x sind ja reell, weil es die Komponenten der Komplexen Zahl z sind. Das ist doch dann keine komplexe Gerade mehr, oder? Wie könnte ich so eine reelle Gerade in [mm] \IC [/mm] zeichnen?
5) Warum überhaupt muss ich in Fall 2 schonwieder eine Fallunterscheidung machen?
6) Unterfall 2b) versteh ich gar nicht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]") Warum folgt aus [mm] b_2=0 [/mm] das [mm] b_1\not=0 [/mm] und was hat das mit [mm] -|b|^2<0 [/mm] zu tun?
7) Wieso ist [mm] x=-\bruch{c}{2b_1} [/mm] eine Gerade? Im reellen wäre es keine, oder? Weil ja das y weg ist. Im Endeffekt ist das im Reellen doch eine Parallele zur y-Achse, oder? Aber wie sieht das jetzt im Komplexen aus? Anschaulich [und auch sonst] ist mir das völlig unklar.
8) Mit dem Falls [mm] -|b|^2\ge0 [/mm] kann ich gar nicht anfangen. Kann mir den vielleicht jemand erklären?
Bin für jede Hilfe sehr sehr dankbar!
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
das scheint ja schon alles schön ausgearbeitet zu sein...
Ich versuche, wenigstens auf ein paar deiner Fragen einzugehen.
> Zeige, dass für [mm]a,c\in\IR, b\in\IC,[/mm] die Menge
> [mm]\ M=\{z\in\IC:az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0 \} [/mm] eine
> Kreislinie oder eine Gerade ist, wenn [mm]ac-|b|^2<0[/mm] ist.
> Was ist M, wenn dies positiv oder 0 ist?
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe hier wieder eine Aufgabe, zu der ich zwar eine
> Lösung habe, zu der ich allerdings noch einige Fragen
> habe.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
>
> Lösung
>
> Sei z=x+iy, [mm]b=b_1+ib_2.[/mm]
> Man unterscheide zwei Fälle: [mm]a\not=0[/mm] und a=0.
>
>
>
> Fall 1
>
> [mm]a\not=0[/mm]
> Dann gilt:
>
> [mm]z\in\[/mm] M
>
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0[/mm]
>
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}+c=0[/mm]
>
> [mm]\gdw a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a})-\bruch{|b|^2}{a^2}+c=0[/mm]
>
> [mm]\gdw a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a^2}-c[/mm]
>
> [mm]\gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|=\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca)[/mm]
> (*)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] M ist eine Kreislinie mit Mittelpunkt
> [mm]-\bruch{\overline{b}}{a},[/mm] also
> [mm](-\bruch{b_1}{a},\bruch{b_2}{a}),[/mm] und Radius
> [mm]\bruch{1}{a}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]
>
> Die Wurzel ist gültig, da [mm]ac-|b|^2<0[/mm] nach Voraussetzung,
> und somit [mm]|b|^2-ac>0.[/mm]
>
> Falls nun [mm]ac-|b|^2=0,[/mm] so folgt aus (*):
> [mm]M={-\bruch{\overline{b}}{a}},[/mm] also nur ein Punkt.
>
> Falls nun [mm]ac-|b|^2>0,[/mm] so folgt aus (*): M={}.
>
>
>
> Fall 2
>
> a=0
> Dann gilt:
>
> [mm]z\in\[/mm] M
>
> [mm]\gdw bz+\overline{bz}+c=0[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 2Re(bz)+c=0
>
> [mm]\gdw[/mm] 2b_1x-2b_2y+c=0
>
> Unterfall 2a)
>
> [mm]b_2\not=0 \Rightarrow y=\bruch{b_1}{b_2}x+\bruch{c}{b_2*c}[/mm]
>
> M ist eine Gerade.
>
> Unterfall 2b)
>
> [mm]b_2=0 \Rightarrow b_1\not=0,[/mm] da [mm]-|b|^2<0 \Rightarrow x=-\bruch{c}{2b_1}[/mm]
>
> M ist eine Gerade.
>
> Falls [mm]-|b|^2\ge0 \Rightarrow[/mm] b=0 [mm]\Rightarrow M={z\in\IC:c=0}=\begin{cases} Leere Menge, & \mbox{für } c\not=0 \mbox{ } \\ \IC, & \mbox{für } c=0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Fragen
>
> 1) Warum muss ich überhaupt eine Fallunterscheidung machen
> und warum unterscheide ich gerade zwischen a=0 und
> [mm]a\not=0?[/mm]
Es handelt sich prinzipiell um eine quadratische Gleichung,
weil [mm] z\overline{z} [/mm] drinsteckt. Mit a=0 , also eigentlich ohne
das Glied [mm] a*z\overline{z} [/mm] ist es eine lineare Gleichung,
die ohnehin (im Regelfall) auf einen linearen Graph führt.
> 2) Die Rechnung in Fall 1 ist mir soweit klar. Warum
> allerdings muss ich eine 0 einfügen in der Form von
> [mm]+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}[/mm] und wie komme ich auf
> diese Idee?
Das ist analog zur quadratischen Ergänzung in der Herleitung
der "abc - Formel" für die reelle quadratische Gleichung.
Ziel: Links soll so etwas wie eine vollständige binomische
Formel entstehen. Schau dir die folgenden beiden Zeilen an,
die motivieren gewissermassen den Schritt.
(Zur Beruhigung: auch dein Prof ist vermutlich nicht der
Erfinder dieser Methode, er hat sie auch irgendwann gelernt
und musste sie vor der Vorlesung nochmals nachschlagen...)
> 3) Wieso steht vor der Rechnung noch [mm]z\in[/mm] M [mm]\gdw[/mm] ?
M ist ja die gesuchte Punktmenge jener komplexen Zahlen,
welche die Gleichung erfüllen.
[mm]z\ \in[/mm] M [mm]\gdw\quad az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0[/mm]
heisst einfach: "z ist Element der Punktmenge M genau dann wenn z die
folgende Gleichung erfüllt".
> 4) Der Fall 2 ist mir nicht mehr so ganz klar.
> Funktionieren Geradengleichungen im Komplexen genauso wie
> im Reellen? Ich meine, da geht das doch nicht mehr so
> wirklich mit Steigung und y-Achsen-Abschnitt und so. Aber
> in Unterfall 2a) habe ich ja quasi eine reelle
> Geradengleichung stehen, y und x sind ja reell, weil es die
> Komponenten der Komplexen Zahl z sind. Das ist doch dann
> keine komplexe Gerade mehr, oder? Wie könnte ich so eine
> reelle Gerade in [mm]\IC[/mm] zeichnen?
Zuerst einmal:
Es gibt ja eigentlich weder "komplexe" noch "relle" Geraden !
Es geht hier um Geraden in der x-y-Ebene. Und hier hat man
die Wahl, ob man einen einzelnen Punkt durch zwei reelle
Koordinaten x,y oder durch eine "komplexe" Zahl z = x+iy
beschreiben will...
Im Unterfall 2a) liegt ja schon eine "gewohnte" Form der
Geradengleichung vor, nämlich y=m*x+b.
Eine Geradengleichung wie etwa y= 2x+4 könnte man
auch in eine "komplexe" Gleichung für z umsetzen.
> 5) Warum überhaupt muss ich in Fall 2 schon wieder eine
> Fallunterscheidung machen?
[mm] b_2=0 [/mm] hätte zur Folge, dass die nachfolgenden Terme
mit [mm] b_2 [/mm] im Nenner nicht definiert wären! also erfordert
der Unterfall [mm] b_2=0 [/mm] eine Spezialbehandlung.
> 6) Unterfall 2b) versteh ich gar nicht Warum
> folgt aus [mm]b_2=0[/mm] das [mm]b_1\not=0[/mm] und was hat das mit [mm]-|b|^2<0[/mm]
> zu tun?
Im Fall b (und damit auch im Unterfall 2b) ist ja a=0 und deshalb ac=0 und
wegen der Voraussetzung [mm]ac-|b|^2<0[/mm] dann auch [mm]-|b|^2<0[/mm].
Damit ist garantiert, dass |b|>0. Es können also nicht beide Komponenten
von b gleich null sein.
> 7) Wieso ist [mm]x=-\bruch{c}{2b_1}[/mm] eine Gerade?
Es ist einfach eine Parallele zur y-Achse oder imaginären Achse.
> Im reellen
> wäre es keine, oder? Weil ja das y weg ist. Im Endeffekt
> ist das im Reellen doch eine Parallele zur y-Achse, oder?
Ja, ganz genau.
> Aber wie sieht das jetzt im Komplexen aus? Anschaulich [und
> auch sonst] ist mir das völlig unklar.
Aussehen tut es genau gleich - ob mit reellen oder komplexen
Gleichungen dargestellt.
>
> 8) Mit dem Falls [mm]-|b|^2\ge0[/mm] kann ich gar nicht anfangen.
> Kann mir den vielleicht jemand erklären?
In der Aufgabe war ja noch die Zusatzfrage, was M sei, wenn die
"Diskriminante" grösser oder gleich null sei. Im Fall b), also wenn
a=0, bedeutet dies, dass man sich jetzt noch die Möglichkeiten [mm] -|b|^2>0
[/mm]
oder [mm] -|b|^2 [/mm] = 0 klar machen muss. Das erste ist unmöglich, das zweite führt auf
b=0. Dann hätten wir also a=0 und b=0. Dann kommt's schliesslich noch
darauf an, ob c auch noch null ist oder nicht...
>
>
> Bin für jede Hilfe sehr sehr dankbar!
>
> LG, Nadine
...und ich danke dir für die präzise gestellten
und gut dargestellten Fragen!
gute Nacht !
al-Chwarizmi
Nachbemerkung:
Ich habe nicht alle Rechnungen im Einzelnen überprüft,
aber in den Umformungen bei Fall 1 gibt es jedenfalls
einzelne (kleine) Unstimmigkeiten !
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 08.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo al-Chwarizmi!
Recht herzlichen Dank für deine Hilfe!
> (Zur Beruhigung: auch dein Prof ist vermutlich nicht der
> Erfinder dieser Methode, er hat sie auch irgendwann gelernt
> und musste sie vor der Vorlesung nochmals nachschlagen...)
Gut zu wissen 
Blöd nur, wenn man zum Lösen der Übungsaufgabe selber drauf kommen muss, deshalb meine Frage.
Hierzu hab ich dann doch nochmal eine Frage:
> Zuerst einmal:
> Es gibt ja eigentlich weder "komplexe" noch "relle"
> Geraden !
> Es geht hier um Geraden in der x-y-Ebene.
> Und hier hat man die Wahl, ob man einen einzelnen Punkt durch zwei
> reelle
> Koordinaten x,y oder durch eine "komplexe" Zahl z =
> x+iy
> beschreiben will...
Also der Punkt (a,b) in der x-y-Ebene hat die reelle x-Koordinate a und die reelle y-Koordinate b bzw. die komplexe Zahl z=a+ib?
> Im Unterfall 2a) liegt ja schon eine "gewohnte" Form der
> Geradengleichung vor, nämlich y=m*x+b.
> Eine Geradengleichung wie etwa y= 2x+4 könnte man
> auch in eine "komplexe" Gleichung für z umsetzen.
Und wie genau würde ich eine solche Geradengleichung y= 2x+4 dann umsetzen?
Würde ich mir wie im reellen einfach eine reelle x-Koordinate suchen, einsetzen und dann eine reelle y-Koordinate erhalten?
Dann bekäm ich einen Punkt (x,y) bzw. die komplexe Zahl z=x+iy?
LG, Nadine
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> ..........
> Hierzu hab ich dann doch nochmal eine Frage:
>
> > Zuerst einmal:
> > Es gibt ja eigentlich weder "komplexe" noch "relle"
> > Geraden !
> > Es geht hier um Geraden in der x-y-Ebene.
>
> > Und hier hat man die Wahl, ob man einen einzelnen Punkt
> durch zwei
> > reelle
> > Koordinaten x,y oder durch eine "komplexe" Zahl z =
> > x+iy
> > beschreiben will...
>
> Also der Punkt (a,b) in der x-y-Ebene hat die reelle
> x-Koordinate a und die reelle y-Koordinate b bzw. die
> komplexe Zahl z=a+ib?
Ja.
> > Im Unterfall 2a) liegt ja schon eine "gewohnte" Form der
> > Geradengleichung vor, nämlich y=m*x+b.
>
> > Eine Geradengleichung wie etwa y= 2x+4 könnte man
> > auch in eine "komplexe" Gleichung für z umsetzen.
>
> Und wie genau würde ich eine solche Geradengleichung y=
> 2x+4 dann umsetzen?
> Würde ich mir wie im reellen einfach eine reelle
> x-Koordinate suchen, einsetzen und dann eine reelle
> y-Koordinate erhalten?
> Dann bekäm ich einen Punkt (x,y) bzw. die komplexe Zahl
> z=x+iy?
hallo Nadine,
ich habe schon fast damit gerechnet, dass du diese Frage
noch stellen wirst.
Wegen Re(z)=x und Im(z)=y könnte man die Geraden-
gleichung y= 2*x+4 zuerst einmal einfach so schreiben:
Im(z)=2*Re(z)+4
Komplexe "Puristen" würden dies aber vielleicht noch nicht
akzeptieren. So wie in der Aufgabenstellung, von der wir aus-
gegangen sind, ist aber der Begriff der konjugiert komplexen
Zahl fest etabliert...
Nun gelten die Gleichungen [mm] Re(z)=\bruch{z+\overline{z}}{2} [/mm] und [mm] Im(z)=\bruch{z-\overline{z}}{2*i}
[/mm]
Mittels dieser Gleichungen kann man die obige Gleichung
umformen mit dem Ergebnis:
[mm] (2*i-1)*z+(2*i+1)*\overline{z}+8*i=0
[/mm]
(falls ich keinen Rechenfehler gemacht habe...)
Es scheint aber, dass die gewohnten Geradengleichungen
im [mm] \IR^2 [/mm] eher praktischer sind.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi!
> In der Aufgabe war ja noch die Zusatzfrage, was M sei, wenn die
> "Diskriminante" grösser oder gleich null sei. Im Fall b), also wenn
> a=0, bedeutet dies, dass man sich jetzt noch die Möglichkeiten $ [mm] -|b|^2>0 [/mm] $
> oder $ [mm] -|b|^2 [/mm] $ = 0 klar machen muss. Das erste ist unmöglich, das zweite führt auf
> b=0. Dann hätten wir also a=0 und b=0. Dann kommt's schliesslich > noch
> darauf an, ob c auch noch null ist oder nicht...
Ich habe zu dem Fall [mm] ac-|b|^2>0\gdw -|b|^2>0 [/mm] noch eine kurze Frage.
Also dieser Fall ist doch unmöglich, weil [mm] -|b|^2>0 [/mm] auf [mm] |b|^2<0 [/mm] führt, und das führt auf |b|<0, und das kann ja nicht sein, weil der Betrag immer größer-gleich 0 ist, oder?
Ist mein Ergebnis dann in diesem Fall M={ }?
LG, Nadine
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> Ist mein Ergebnis dann in diesem Fall M={ }?
> LG, Nadine
klar ! ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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moin Nadine,
ich hab' Fall 1 nochmals durchgesehen:
> Zeige, dass für [mm]a,c\in\IR, b\in\IC,[/mm] die Menge
> [mm]\ M = \{z\in\IC:az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0 \}[/mm]
> eine Kreislinie oder eine Gerade ist, wenn [mm]ac-|b|^2<0[/mm] ist.
> Was ist M, wenn dies positiv oder 0 ist?
>
>
> Lösung
>
> Sei z=x+iy, [mm]b=b_1+ib_2.[/mm]
> Man unterscheide zwei Fälle: [mm]a\not=0[/mm] und a=0.
>
>
> Fall 1
>
> [mm]a\not=0[/mm]
> Dann gilt:
>
> [mm]z\in\[/mm] M
>
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+c=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\gdw az\overline{z}+bz+\overline{bz}+\bruch{|b|^2}{a}-\bruch{|b|^2}{a}+c=0[/mm]
>
> [mm]\gdw a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a})-\bruch{|b|^2}{a^2}+c=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
müsste heissen:
[mm]a(z\overline{z}+z\bruch{b}{a}+\overline{z}\bruch{\overline{b}}{a}+\bruch{|b|^2}{a^2})-\bruch{|b|^2}{a}+c=0[/mm]
> [mm]\gdw a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a^2}-c[/mm]
das wäre dann:
[mm]a(z+\bruch{\overline{b}}{a})(\overline{z}+\bruch{b}{a})=\bruch{|b|^2}{a}-c[/mm]
> [mm]\gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|=\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca)[/mm]
richtig:
[mm]\gdw |z-(-\bruch{\overline{b}}{a})|^2 =\bruch{1}{a^2}(|b|^2-ca)[/mm] (*)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] M ist eine Kreislinie mit Mittelpunkt
> [mm]-\bruch{\overline{b}}{a},[/mm] also
> [mm](-\bruch{b_1}{a},\bruch{b_2}{a}),[/mm] und Radius
> [mm]\bruch{1}{a}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm]
wenn man's ganz pingelig sieht:
[mm] r = \bruch{1}{|a|}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm] (damit [mm] r\ge [/mm] 0 !)
>
> Die Wurzel ist gültig, da [mm]ac-|b|^2<0[/mm] nach Voraussetzung,
> und somit [mm]|b|^2-ac>0.[/mm]
>
> Falls nun [mm]ac-|b|^2=0,[/mm] so folgt aus (*):
> [mm]M={-\bruch{\overline{b}}{a}},[/mm] also nur ein Punkt.
>
> Falls nun [mm]ac-|b|^2>0,[/mm] so folgt aus (*): M={}.
>
so, ich hoff', das wars...
LG al-Chwarizmi
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> > wenn man's ganz pingelig sieht:
> >
> > [mm]r = \bruch{1}{|a|}\wurzel{|b|^2-ac}.[/mm] (damit [mm]r\ge[/mm] 0 !)
>
>
> Um ehrlich zu sein, sehe ich nicht wirklich einen
> Unterschied
>
> Ist es nicht egal, ob ich schreibe >> Der Radius ist
> (gleich) 97,6 << oder >> r=97,6 <<
>
Es geht nur um das Vorzeichen. Der Radius r soll [mm] \ge [/mm] 0 sein.
Ohne die Betragszeichen könnte r negativ werden (wenn a<0).
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 So 08.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo al-Chwarizmi!
> Falls nun [mm]ac-|b|^2>0,[/mm] so folgt aus (*): M={}.
Ich habe zu diesem Fall grad noch mal eine Frage:
[mm] ac-|b|^2>0 [/mm] kann ich ja umformen zu [mm] |b|^2-ac<0.
[/mm]
Ich dachte nun, dass M deshalb die leere Menge ist, weil die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl nicht definiert ist
[ [mm] |b|^2, [/mm] a, c sind ja reelle Zahlen].
Aber wir sind doch im Komplexen, da kann ich doch auch die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl ziehen.
Z.B. [mm] \wurzel{-3}=\wurzel{(-1)*3}=\wurzel{(-1)}*\wurzel{3}=\wurzel{i^2}*\wurzel{3}=i*\wurzel{3}
[/mm]
Oder war das die falsche Begründung dafür, dass M die leere menge ist?
LG, Nadine
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Natürlich kannst du im Komplexen die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Du hattest aber eine Gleichung, bei der auf der linken Seite der Betrag - also eine reelle Zahl - eines komplexen Ausdrucks stand. Wenn rechts eine nicht-reelle Zahl herauskommt, kann dies kein Betrag sein...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi!
So, ich hab die Aufgabe nochmal komplett durchgearbeitet und verstanden
Vielen Dank für deine Hilfe!
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super
noch schönen Abend !
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![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]"){kind=small}
