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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 Mo 12.11.2007 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = x + iy mit x,y [mm] \varepsilon \IR [/mm] und geben Sie ihrenBetrag an.
(iv) z = [mm] (\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
durch ein bisschen vereinfachung erhalte ich [mm] \bruch{(1+i)^{17}}{\wurzel{2}*2^{8}} [/mm] . Wie kann ich denn den Zaehler noch vereinfachen?
MfG Tomi
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Hallo,
du kannst ja mal schauen, was denn [mm] (1+i)^2, (1+i)^3, (1+i)^4 [/mm] und [mm] (1+i)^5 [/mm] ergeben. Dann wird dir garantiert ein Muster auffallen. Das kannst du bei Bedarf auch beweisen oder (wenn es darauf nicht ankommt) einfach benutzen.
Wenn dir allerdings "Exponentialform" etwas sagt, dann nimmst du die, berechnest die 17. Potenz und wechselst wieder in die kartesische Form.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mo 12.11.2007 | | Autor: | xcase |
Hi, also eigentlich sind mal alle Operationen im Bereich der Komplexen Zahlen gelaeufig nur kann ich sie nicht so anwenden wie ich es gerne haette ;).
Also muesste ich das jettz so rechnen:(?)
[mm] e^{z} [/mm] = [mm] e^{x + iy} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] * [mm] e^{iy} [/mm] = [mm] e^{x}(cos [/mm] y + i sin y)
[mm] \Rightarrow z^{n} [/mm] = [mm] |z|^{n} [/mm] * [mm] e^{i*n*\delta}
[/mm]
[mm] \gdw z^{17} [/mm] = [mm] |(1+i)|^{17}*e^{i*17*\delta} \Rightarrow [/mm] |(1+i)| = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z = [mm] \bruch{\wurzel{2}^{17}}{\wurzel{2}^{17}}*e^{i*7*\bruch{\pi}{4}} [/mm] ???
Der Winkel [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] kommt bei mir von der komplexen zahl 1+i . Oder muss ich da [mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}} [/mm] beruecksichtigen?
Wenn das oben richtig ist dann folgt ja
[mm] \Rightarrow [/mm] z = 1 * ( [mm] cos\bruch{7}{4}*\pi [/mm] + i * [mm] sin\bruch{7}{4}*\pi)
[/mm]
Als Endergebnis staende dann: z = 0,7071 - 0,7071*i
Richtig? Wenn nicht...bitte um korrektur :)
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Hallo xcase!
Gehen wir mal schrittweise vor und betrachten zunächst $z \ := \ [mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}+\bruch{1}{\wurzel{2}}*i$ [/mm] .
Der Betrag dieser Zahl lautet: $|z| \ = \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)^2+\left(\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)^2} [/mm] \ = \ ...$
Und den Winkel hast Du mit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] \ [mm] \hat= [/mm] \ 45°$ bereits richtig ermittelt.
Damit wird dann: [mm] $$z^{17} [/mm] \ = \ [mm] |z|^{17}*\left[\cos\left(\bruch{\pi}{4}*17\right)+i*\sin\left(\bruch{\pi}{4}*17\right)\right] [/mm] \ = \ ...$$
Und hier hat sich in Deinem Ergebnis ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Grß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 12.11.2007 | | Autor: | xcase |
Gibt es da irgendeinen Trick mit dem ich den Fehler in der Zukunft nicht mehr mache? Weil wenn ich den Sinus ausrechne dann kommt ein negativer wert raus. ich [mm] meine.....\bruch{1+i}{\wurzel{2}} [/mm] liegt natuerlich im 1. Quadranten und alles ist positiv...aber bei [mm] z^{17} [/mm] auch? Oder wie muss ich mir das vorstellen.
MfG Tomi
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Hallo,
> Weil wenn ich den Sinus ausrechne dann kommt ein negativer wert raus.
Kann nicht sein, mein Taschenrechner sagt 0,707..., also [mm] $+\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
> Oder wie muss ich mir das vorstellen.
Du vervielfachst den Winkel. Stell dir vor, du hast einen Zeiger auf der positiven x-Achse liegen. Dann drehst du ihn zuerst um [mm] $\bruch{\pi}{4}$, [/mm] danach dasselbe noch 16mal. Da 8 dieser Drehungen genau eine ganze Umdrehung ergeben, landest du am Ende wieder am Ausgangspunkt, also wieder bei [mm] $\bruch{\pi}{4}$.
[/mm]
Das funktioniert natürlich nur bei so einfachen Winkeln. Wenn man den Winkel nicht ganzzahlig zu [mm] $2\pi$ [/mm] multiplizieren kann, dann muss man wirklich rechnen...
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Mo 12.11.2007 | | Autor: | xcase |
Alles klar....Danke! :D
Hab mich vertippt und mit [mm] \bruch{7}{4}*\pi [/mm] gerechnet.
MfG Tomi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 12.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
Kurze Frage die Aufgabe hieß doch [mm] (\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17} [/mm]
in z=x + iy zu bringen oder?
könnte man das nicht einfach so schreiben?
[mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{i}{\wurzel{2}})^{17}
[/mm]
und das ist ja gleich [mm] \bruch{1^(17)}{\wurzel{2}\* 2^8} [/mm] + [mm] \bruch{i^(17)}{\wurzel{2}\* 2^8} [/mm] d.h.: 1 hoch 17 und i hoch 17
und dass ist ja wiederum
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}\* 2^8} [/mm] + [mm] \bruch{i}{\wurzel{2}\* 2^8}
[/mm]
bzw. [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}\* 2^8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}\* 2^8}\* [/mm] i
und das ist ja nun in der Form Z = x + [mm] y\*i
[/mm]
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Hallo,
> und das ist ja gleich [mm] \bruch{1^(17)}{\wurzel{2}\* 2^8} [/mm] + [mm] \bruch{i^(17)}{\wurzel{2}\* 2^8} [/mm] d.h.: 1 hoch 17 und i hoch 17
Nein! Die Binomische Formel lautet ja auch [mm] $(a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2+2ab+b^2$ [/mm] und nicht [mm] $=a^2 [/mm] + [mm] b^2$. [/mm] Für höhere Potenzen wird der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen entsprechend komplizierter.
Man darf eine Summe nicht potenzieren, indem man die Summanden einzeln potenziert und dann addiert. Das darf man nur bei einem Produkt machen.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Di 13.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
Hab ich auch gestern noch drüber nachgedacht.... aber dankee
Aber eine Frage hätte ich noch kurz, wie kommt man auf [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] als Winkel? Das versteh ich nicht so ganz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Di 13.11.2007 | | Autor: | Martin243 |
Hallo,
den bekommst du durch [mm] $\arctan\bruch{\Im{}z}{\Re{}z}$, [/mm] wobei man immer auf den Quadranten achten sollte, in dem die Zahl liegt. Ggf. muss man noch ein [mm] $\pi$ [/mm] addieren.
Gruß
Martin
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