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| Aufgabe | | Bestimme Real- und Imaginärteil von: [mm] e^{sin(j+1)} [/mm] |
Könnte mir jmd erklären wie man am geschicktesten an die Aufgabe ran geht? weiß nicht genau ob ich evtl. mit additonstheoremen oder ähnlichen dran gehen soll...
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
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SIN und COS sind im Komplexen definiert über [mm] $e^c+e^{-c}=2\cos(c)$ [/mm] und [mm] $e^c-e^{-c}=2i \sin(c)$. [/mm]
[mm] $\exp [\sin(c)]=\exp \left[\bruch{e^c-e^{-c}}{2i} \right] [/mm] $
WEnn du jetzt noch [mm] e^c=e^{\Re(c)}*e^{\Im(c)} [/mm] benutzt, und [mm] $e^{\Im(c)}=\cos{|\Im(c)|}+i\sin{|\Im(c)|}$ [/mm] kommst du sicherlich weiter. Du hast dann im Zähler vier Summanden aus reellen(!!!) trig. Funktionen. Den Bruch kannst du ganz einfach in reellen und imaginären Teil zerlegen, und dann letztendlich die Exp-Funktion auch wieder schön zerlegen.
Ach, was solls.
$c=j+1$
[mm] $e^c=e*(\cos(1)+i\sin(1))$
[/mm]
[mm] $e^{-c}=e*(\cos(1)-i\sin(1))$
[/mm]
und so:
[mm] $\exp [\sin(c)]=\exp \left[\bruch{2i*e*\sin(1))}{2i} \right] =\exp \left[{e*\sin(1))} \right]$
[/mm]
Das Ding ist reell, es gibt keinen komplexen Anteil.
Mag sein, daß ich mich aufgrund der schon recht späten Uhrzeit verrechnet habe, daher überprüfe jeden Schritt besser noch 2 mal!
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