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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 29.10.2014
Autor: Sniphead

Aufgabe 1
Errechnen Sie alle Lösungen des Ausdrucks [mm] z^4=(-1) [/mm] und geben Sie diese in trigonometrischer Form an.


Aufgabe 2
Berechnen SIe (2i)^1003 und geben sie das Ergebnis in algebraischen, Trigonometrischen und der Euler-Darstellung an.


Hallo kann mir jmd bei diesen Aufgaben behilflich sein? ich weiß nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich weiß das ich bei der ersten Aufgabe 4 Lsg. zu erwarten habe. Also meine vorgehensweiße wäre:
1. Alles in die Trigonometrische Darstellung zu bringen. jedoch kenn ich den Winkel nicht. Ich denke aber er müsste 0° sein oder?

Bei der zweiten wie soll ich das den bitte rechnen? Wenn ich des rechnen wollte wäre ich doch noch in 3 jahren damit beschäftigt, wo ist der Trick bei der Aufgabe?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Mi 29.10.2014
Autor: fred97


> Errechnen Sie alle Lösungen des Ausdrucks z^=(-1)

Ich vermute, dass oben [mm] z^4=-1 [/mm] steht.



>  und
> geben Sie diese in trigonometrischer Form an.
>  Berechnen SIe (2i)^1003 und geben sie das Ergebnis in
> algebraischen, Trigonometrischen und der Euler-Darstellung
> an.
>  Hallo kann mir jmd bei diesen Aufgaben behilflich sein?
> ich weiß nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich weiß das
> ich bei der ersten Aufgabe 4 Lsg. zu erwarten habe. Also
> meine vorgehensweiße wäre:
>  1. Alles in die Trigonometrische Darstellung zu bringen.
> jedoch kenn ich den Winkel nicht. Ich denke aber er müsste
> 0° sein oder?

Das Argument von -1 ist [mm] \pi (=180^o) [/mm]

Schau da mal rein:

https://www.mp.haw-hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/komplex/wurzel-1.pdf

>
> Bei der zweiten wie soll ich das den bitte rechnen? Wenn
> ich des rechnen wollte wäre ich doch noch in 3 jahren
> damit beschäftigt, wo ist der Trick bei der Aufgabe?

[mm] (2i)^{1003} =2^{1003}*i^{1003} [/mm]

Es ist [mm] i^4=1, [/mm] also auch [mm] i^{1000}=1. [/mm] Jetzt Du.

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mi 29.10.2014
Autor: Sniphead

Also super ich glaub die erste aufgabe hätte ich schon mal! Da kommt wenn ich mich nicht täusche: 1,1i,-1 und -1i raus.

Zur der 2. Aufgabe
Also das heißt ich muss einfach nur [mm] (2i)^3 [/mm] rechnen?! W
eil (2i)^1000 ja 2 ergeben muss oder?

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Mi 29.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Also super ich glaub die erste aufgabe hätte ich schon
> mal! Da kommt wenn ich mich nicht täusche: 1,1i,-1 und -1i
> raus.

meines Erachtens nach ist [mm] $1^4=1\,,$ $(-1)^4=1\,.$ [/mm] Du kannst sowas doch selbst
kontrollieren - außerdem wäre es sinnvoll, nochmal die Frage zu korrigieren,
also zu sagen, ob Fred mit seiner Vermutung [mm] $z^4=-1$ [/mm] richtig lag...

> Zur der 2. Aufgabe
>  Also das heißt ich muss einfach nur [mm](2i)^3[/mm] rechnen?! W
>  eil (2i)^1000 ja 2 ergeben muss oder?

Das Potenzgesetz lautet

    [mm] $(w*z)^{n}=w^n*z^n\,.$ [/mm]

Demnach ist

    [mm] $(2*i)^{1003}=2^{1003}*i^{1003}\,.$ [/mm]

Jetzt gibt es auch noch sowas wie

    [mm] $z^{m+n}=z^m*z^n\,.$ [/mm]

Deswegen

    [mm] $(2*i)^{1003}=2^{1003}*(i^{1000}*i^3)\,.$ [/mm]

Und [mm] $2^{1003}$ [/mm] sollst Du vermutlich nicht ausrechnen/ausschreiben, sondern
da darf [mm] $2^{1003}$ [/mm] stehen bleiben - oder schreib's als Binärzahl, wenn Du
genug Zeit hast. ;-)

Gruß,
  Marcel

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 29.10.2014
Autor: Sniphead

Also die Frage hab ich schon mal korriegiert. Und ja es sollte [mm] z^4=-1 [/mm] heißen. Besser gesagt sollte es z=die vierte wurzel von (-1) heißen. jedoch weiß ich nicht wie man hier die 4wurzel einfügt.

Zurück zu Nummer 2.

Ich weiß aber auch das [mm] I^3 [/mm] =-i ist. also wäre meine Ergebniss 2^1003 *(-i)?


Bezug
                                        
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Mi 29.10.2014
Autor: reverend

Hallo Sniphead, [willkommenmr]

> Also die Frage hab ich schon mal korriegiert. Und ja es
> sollte [mm]z^4=-1[/mm] heißen. Besser gesagt sollte es z=die vierte
> wurzel von (-1) heißen. jedoch weiß ich nicht wie man
> hier die 4wurzel einfügt.

Klick mal hierdrauf: [mm] z=\wurzel[4]{-1} [/mm]

Deine Lösungen stimmten ja noch nicht. Beachte [mm] \wurzel[4]{x}=\wurzel{\wurzel{x}} [/mm]

Du suchst also [mm] \pm\wurzel{i} [/mm] und [mm] \pm\wurzel{-i} [/mm]

Mit der Dir vorliegenden Formel sollte das leicht gehen. Es lohnt sich aber auch, mindestens einen dieser Werte auswendig zu wissen, das braucht man immer wieder. Also z.B.

[mm] \wurzel{i}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i)=\bruch{1+i}{\wurzel{2}}=\bruch{1+i}{|1+i|} [/mm]

Eine dieser drei Darstellungen können sich die meisten merken. Damit hast Du jetzt aber noch kein vollständiges Ergebnis!

> Zurück zu Nummer 2.
>
> Ich weiß aber auch das [mm]I^3[/mm] =-i ist. also wäre meine
> Ergebniss 2^1003 *(-i)?

Ja, genau. Oder anders geschrieben: [mm] -2^{1003}i [/mm]

Grüße
reverend

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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Mi 29.10.2014
Autor: Marcel

Hallo reverend,

> Hallo Sniphead, [willkommenmr]
>  
> > Also die Frage hab ich schon mal korriegiert. Und ja es
> > sollte [mm]z^4=-1[/mm] heißen. Besser gesagt sollte es z=die vierte
> > wurzel von (-1) heißen. jedoch weiß ich nicht wie man
> > hier die 4wurzel einfügt.
>  
> Klick mal hierdrauf: [mm]z=\wurzel[4]{-1}[/mm]
>  
> Deine Lösungen stimmten ja noch nicht. Beachte
> [mm]\wurzel[4]{x}=\wurzel{\wurzel{x}}[/mm]
>  
> Du suchst also [mm]\pm\wurzel{i}[/mm] und [mm]\pm\wurzel{-i}[/mm]
>  
> Mit der Dir vorliegenden Formel sollte das leicht gehen. Es
> lohnt sich aber auch, mindestens einen dieser Werte
> auswendig zu wissen, das braucht man immer wieder. Also
> z.B.
>
> [mm]\wurzel{i}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i)=\bruch{1+i}{\wurzel{2}}=\bruch{1+i}{|1+i|}[/mm]

>
>

> Eine dieser drei Darstellungen können sich die meisten
> merken.

Man kann sich eine leicht herleiten:
Wir wissen

    [mm] $e^{i*\pi}=-1\,,$ [/mm]

also

    [mm] $(e^{i*\frac{\pi}{4}})^4=-1\,.$ [/mm]

(Vielleicht kann man ja *ähnlich* auf alle Lösungen kommen? Das mal so
als Tipp für Sniphead.)

> Damit hast Du jetzt aber noch kein vollständiges
> Ergebnis!

Wenn man gerne rechnet, kann man auch erstmal den Ansatz

    [mm] $(a+i*b)^4=-1$ [/mm]

mit (gesuchten) $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] machen. Dann bekommt man irgendwann ein reelles
Gleichungssystem in den beiden reellen Variablen, dessen Lösungsmenge
die gesuchten (4) komplexen Zahlen charakterisiert.

Gruß,
  Marcel

> > Zurück zu Nummer 2.
> >
> > Ich weiß aber auch das [mm]I^3[/mm] =-i ist. also wäre meine
> > Ergebniss 2^1003 *(-i)?
>  
> Ja, genau. Oder anders geschrieben: [mm]-2^{1003}i[/mm]
>  
> Grüße
>  reverend


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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Mi 29.10.2014
Autor: Sniphead

Super ich danke für die Hilfe damit kann ich morgen nochmal alle nachrechnen.

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Mi 29.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,


>  Berechnen SIe (2i)^1003 und geben sie das Ergebnis in
> algebraischen, Trigonometrischen und der Euler-Darstellung
> an.
>  Hallo kann mir jmd bei diesen Aufgaben behilflich sein?
> ich weiß nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich weiß das
> ich bei der ersten Aufgabe 4 Lsg. zu erwarten habe. Also
> meine vorgehensweiße wäre:
>  1. Alles in die Trigonometrische Darstellung zu bringen.
> jedoch kenn ich den Winkel nicht. Ich denke aber er müsste
> 0° sein oder?
>
> Bei der zweiten wie soll ich das den bitte rechnen? Wenn
> ich des rechnen wollte wäre ich doch noch in 3 jahren
> damit beschäftigt, wo ist der Trick bei der Aufgabe?


also 3 Jahre bräuchtest Du sicher nicht. Du hattest aber auf Freds Hinweis
auch selbst kommen können, indem Du Dir mal etwa

    [mm] $i^k$ [/mm] für $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$

ausgerechnet hättest - zumal Du [mm] $i^2=-1$ [/mm] weißt.

Und letzteres erklärt dann auch Freds Hinweis (wegen [mm] $i^4=i^{2+2}=i^2*i^2=(-1)*(-1)=(-1)^2=1$). [/mm]

Gruß,
  Marcel

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