Komplexe Wurzel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe schonmal eine ähnliche Frage gestellt, habe aber weiterhin mit solchen Aufgaben so meine Probleme.
Kann mir bitte jemand erklären wie man eine solche komplexe Wurzel berechnet, und wenn es möglich ist, dies per Kopf zu tun, denn in unseren Matheklausuren sind Taschenrechner verboten. Ich weiß irgendwie nicht wie das machbar sein soll.
Ausgangsgleichung:
[mm] 2*x^{2}+1=x+3*i
[/mm]
ich habe diese nun soweit umgeformt, das ich die pq Formel anwenden konnte.
Ergebnis der pq-Formel:
[mm] \bruch{1}{4} \pm \wurzel{ \bruch{-7}{16}+ \bruch{3}{2}*i}
[/mm]
Wie muss ich denn jetzt weiterrechnen, man beachte, ohne Taschenrechner und es soll ja lösbar sein. Ist ne alte Klausuraufgabe.
Danke für eure Hilfe
Jens
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Hallo.
> Ausgangsgleichung:
> [mm]2*x^{2}+1=x+3*i
[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4} \pm \wurzel{ \bruch{-7}{16}+ \bruch{3}{2}*i}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit ist das in Ordnung.
Die einfachste Methode ist es wahrscheinlich, Folgendes zu betrachten:
$ [mm] \wurzel{ \bruch{-7}{16} + \bruch{3}{2}*i}=a+bi
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^2-b^2+2abi [/mm] = [mm] \bruch{-7}{16}+ \bruch{3}{2}*i [/mm] $
Aus einem Koeffizientenvergleich erhält man dann:
[mm] $\Rightarrow a^2-b^2 [/mm] = [mm] \bruch{-7}{16} [/mm] $
$ 2ab = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] $.
Man beachte, daß dieses Gleichungssystem mehrere Lösungen hat, d.h. man muß hinterher auf jeden Fall eine Probe machen.
So solltest Du aber auf jeden Fall zum Ziel kommen.
Am Besten probierst Du das einfach mal, und falls Du nicht weiterkommst oder noch fragen hast, kannst Du dich ja nochmal melden.
Gruß,
Christian
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Hi,
habe jetzt die ganze Zeit rumgerechnet, bin endlich auf die zwei Ergebnisse gekommen, die mir mein Matheprog. Maple auch sagt.
Ich wusste nicht das man Den Gesamtterm nach Realtweil und Imaginärteil auseinanderrupfen darf. Danach war ja wirklich nur noch auflösen und einsetzen angesagt.
Daher die Frage: Gilt diese Methode immer für die Wurzelberechnung von komplexen Zahlen oder ging das jetzt nur hier so?
Gruß Jens
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Hallo.
Ja, das kann man immer so machen. Man kann das natürlich auch begründen, denn wenn wir eine komplexe Zahl so schreiben: $z=a+b*i$, wollen wir ja auch, daß diese Darstellung eindeutig ist; im Klartext: Wir wollen, daß a und b dann reelle, und nicht etwa komplexe Zahlen sind.
Wenn wir also sowas da stehen haben wie $a+bi=3+2i$, dann muß das in diesem Sinne ja heißen, daß a=3 und b=2 ist.
Aber Achtung: Wenn wir zum Beispiel sowas da stehen hätten:
$ a+b*i=sin{z}+i*tan{y} $, und mit z und y sind komplexe Zahlen gemeint,
dann muß eben nicht $ a=sin{z}$ und $ b=tan{y} $ gelten, denn:
Für komplexe Werte haben beispielsweise sinus und tangens auch wieder selbst komplexe Werte, das heißt, wiederum einen Real- und Imaginärteil, denn man könnte dann ja auch schreiben: $sin{z}=sin(p+qi)$, mit p und q aus den reellen Zahlen und das dann weiter mit Additionstheoremen behandeln.
Ich hoffe, es ist deutlich geworden, warum das hier so geht mit einem Koeffizientenvergleich, warum man im Allgemeinen aber mit sowas aufpassen muß.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 14.03.2005 | | Autor: | cagivamito |
Gute Sache, finde es nur irgendwie wahnsinn so eine Aufgabe nur mit dem Kopf zu lösen, das dauert einfach zu lange. In der Klausur wird das ganz schön stressig.
Ich geb mein bestes,
danke.
Jens
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