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| Aufgabe | Gegeben ist der Ortsvektor OA=(2,3,-5) und die Vektoren AB=(-1,-2,5) und AC=(10,5,-2).
a) Überprüfen Sie die drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.
b) Durch die Vektoren AB'=1,5*AB und AC'=3,5*AC wird ein Viereck aufgespannt. Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpuntke über ihre Ortsvektoren.
c)Berechnen Sie den Schwerpunkt S des Vierecks AB'C'D'
d)Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren AB' und AC'?
e)Berechnen Sie die Länge der Vektoren OD' und OS'. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=413494
Hi. Es ist super wichtig, dass ich diese Aufgabe verstehe und auch bearbeiten kann. Da ich dabei aber noch Probleme habe, wäre es super, wenn mir jemand weiterhelfen kö
könnte.
zu Aufgabe) Ich nehme mal an, dass alle 3 Vektoren aus dem Ursprung hervorgehen und dann mit Punkt A zu den jeweiligen Strecken verbunden werden.
zu a) Ist klar: Überprüfen, ob keine O herauskommt und dann das LGS lösen.
zu b) Mhm - einfach nur die Streckenvektoren mit der Vorzahl multiplizieren und ins R³ einzeichnen?
zu c) Noch nie gehört: Was ist ein Schwerpunkt und wie kann ich ihn berechnen?
zu d) Das benutze ich die Formel cos phi=a1*b1+a2*b2/Wurzel(a1²+a2²)*Wurzel(b1²*b2²).
zu e) Ist nicht so klar: Berechne ich das mit der Formel für Raum oder Ebene und woher nehme ich das D'?
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> Gegeben ist der Ortsvektor OA=(2,3,-5) und die Vektoren
> AB=(-1,-2,5) und AC=(10,5,-2).
>
> a) Überprüfen Sie die drei Vektoren auf lineare
> Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.
> b) Durch die Vektoren AB'=1,5*AB und AC'=3,5*AC wird ein
> Viereck aufgespannt. Berechnen Sie die Koordinaten der
> Eckpuntke über ihre Ortsvektoren.
> c)Berechnen Sie den Schwerpunkt S des Vierecks AB'C'D'
> d)Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren AB' und
> AC'?
> e)Berechnen Sie die Länge der Vektoren OD' und OS'.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=413494
> zu Aufgabe) Ich nehme mal an, dass alle 3 Vektoren aus dem
> Ursprung hervorgehen und dann mit Punkt A zu den jeweiligen
> Strecken verbunden werden.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") [mm] \vec{0A} [/mm] geht aus dem Ursprung ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
die anderen beiden ergeben sich aus [mm] \vec{AC} [/mm] = [mm] \vec{0C} [/mm] - [mm] \vec{0A}
[/mm]
und [mm] \vec{AB} [/mm] = [mm] \vec{0B} [/mm] - [mm] \vec{0A}
[/mm]
> zu a) Ist klar: Überprüfen, ob keine O herauskommt und
> dann das LGS lösen.
bestimme a,b,c in [mm] a*\vektor{2\\3\\-5} [/mm] + [mm] b*\vektor{-1\\-2\\5} [/mm] + [mm] c*\vektor{10\\5\\-2} [/mm] = 0
> zu b) Mhm - einfach nur die Streckenvektoren mit der
> Vorzahl multiplizieren und ins R³ einzeichnen?
> zu c) Noch nie gehört: Was ist ein Schwerpunkt und wie
> kann ich ihn berechnen?
Der Schwerpunkt ist in diesem Fall der Flächenmittelpunkt des Vierecks.
Er ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Parallelogramms. Dieses ergibt sich aus den beiden Vektoren [mm] \vec{AC'} [/mm] und [mm] \vec{AB'} [/mm] und ihrer jeweiligen Parallelverschiebung [mm] \vec{C'D} [/mm] und [mm] \vec{B'D}
[/mm]
> zu d) Das benutze ich die Formel cos
> phi=a1*b1+a2*b2/Wurzel(a1²+a2²)*Wurzel(b1²*b2²).
> zu e) Ist nicht so klar: Berechne ich das mit der Formel
> für Raum oder Ebene und woher nehme ich das D'?
Wenn du die Koordinaten von S und D hast, dann benutze
[mm] |\vec{A}| [/mm] = [mm] \wurzel{x_{a}^2 + y_{a}^2 + z_{a}^2}
[/mm]
Gruss Christian
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Hi. Danke für deine Antwort, ich habe aber noch ein paar Fragen. ;D
-Ergeben sich aus den Streckenvektoren die Punktkoordinaten für AB und AC?
-Das mit dem Schwerpunkt ist mir noch nicht so ganz klar - gibt es dafür eine Formel?
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> -Ergeben sich aus den Streckenvektoren die Punktkoordinaten
> für AB und AC?
Punktkoordinaten sind aus dem Ortsvektor ablesbar! Also Punkt A hat die Koordinaten die im Ortsvektor [mm] \vec{0A } [/mm] stehen. Wenn du dann A (Punkt) kennst und ausserdem [mm] \vec{AB} [/mm] dann kannst du die Bedingung [mm] \vec{0B} [/mm] = [mm] \vec{0A} [/mm] + [mm] \vec{AB} [/mm] (Vektoraddition) benutzen um aus [mm] \vec{0B} [/mm] die Koordinaten von B (Punkt) abzulesen. Mit Punkt C dann analog.
> -Das mit dem Schwerpunkt ist mir noch nicht so ganz klar -
> gibt es dafür eine Formel?
Stell dir vor du hättest das Viereck ausgeschnitten (aus Papier). Steck eine Nadel in den Schwerpunkt und halte das ganze dann hoch. Wenn du an dem Viereck drehst (um die Nadel) wird es in jeder Position stehen bleiben in der du es loslässt. Ist die Nadel nicht im Schwerpunkt, wird das Viereck in eine Ruhelage zurückpendeln. Das ist der Flächenmittelpunkt oder Schwerpunkt.
Formeln für diesen Punkt sind immer abhängig von der Geometrie des betreffenden Körpers. Beim Parallelogramm ist es der Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Bilde also [mm] \vec{AD} [/mm] und [mm] \vec{B'C'} [/mm] und schau wo sich die beiden schneiden....
Gruss Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mo 08.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> b) Durch die Vektoren AB'=1,5*AB und AC'=3,5*AC wird ein
> Viereck aufgespannt. Berechnen Sie die Koordinaten der
> Eckpuntke über ihre Ortsvektoren.
Mir ist nicht klar, was das heissen soll.
SEcki
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Nun, anscheinend muss laut Aufgabenstellung der Vektor mit dem jeweiligen Faktor multipliziert werden. Durch die neuen Punktkoordinaten soll man ein Viercken auspannen können ...
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