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Hallo ^^
Ich versuche mich gerade in einfache komplexe Funktionen
einzuarbeiten. Momentan muss die komplexe Quadratfunktion
drann glauben...
So weit bin ich nun gekommen:
z ist eine komplexe Zahl
[mm] f(z)=z^{2}=(re^{i\alpha})^{2}=r^{2}*e^{i*2\alpha}=(x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+i2xy [/mm]
Für den Realteil gibt es nun eine Funktion
[mm] u(x,y)=x^{2}-y^{2} [/mm]
Und der Imaginärteil entspricht:
v(x,y)=2xy
So soweit habe ich es verstanden.
Doch ich habe noch zahlreiche Fragen ^^
Warum wird das ganze in eine "Reale und Imaginäre Funktion"
"geteilt"? Was sind das für Schaubilder? Ich vermute, dass u(x,y) so etwas wie eine Parabel ist, wegen dem Quadrat
und, dass v(x,y) eine Art Ebene oder so ist.
Kann mir das jemand ausführlich und vor allem verständlich erklären??? Sind die Schaubilder die berühmten Riemannschen Flächen??? Wie wird das 4-dimensionale veranschaulicht???
Im Internet finde ich nur so mega-komplizierte Uni-Seiten dazu, wo man mit Formeln bombadiert wird ^^
Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet ^^
Beste Grüße
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Achso ^^...und wie verhält es sich eigentlich mit der Wurzelfunktion bei den komplexen Zahlen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Auch das ist eine konforme Abbildung. Die gesamte z-Ebene wird einmal auf die obere und einmal auf die untere w-Ebene abgebildet. Das rechtwinklige Koordinatensystem der z-Ebene wird dabei in zwei Hyperbelscharen abgebildet, deren Brennpunkt im Nullpunkt liegt.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo able1tung,
die von Dir beschriebene quadratische Funktion lässt sich durch Real- und Imaginärteil so ausdrücken, wie Du es getan hast. In Hinblick auf die Stetigkeit und die Ableitung komplexer Funktionen hilft einem diese Aufsplittung weiter. Dein Beispiel ist ein schönes Beispiel für eine konforme Abbildung. Der Definitionsbereich, der die gesamte komplexe Ebene enthält, wird auf einen Wertebereich abgebildet, man spricht hier normalerweise von z-Ebene (der Definitionsbereich) und w-Ebene (der Bildbereich). Diese w-Ebene wird durch die quadratische Funktion zweimal überdeckt. Da bei diesen komplexen Abbildungen auch Mehrdeutigkeiten auftreten können, versucht man, den Definitions- und den Abbildungsbereich so zu legen, dass eine umkehrbar eindeutige Korrespondenz besteht, das ist die Eigenschaft einer Riemannschen Fläche. Somit lassen sich eindeutige Umkehrfunktionen definieren. Mehr ist dazu eigentlich erst mal nicht zu sagen.
Vierdimensional braucht man das Ganze nicht zu betrachten. Ein Wertepaar (x,y) aus dem Definitionsbereich wird in ein neues Wertepaar (u,v) transformiert. Flächen im Definitionsbereich führen zu Flächen im Abbildungsbereich.
Viele Grüße,
Infinit
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