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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Sa 21.02.2009 | | Autor: | pehdr |
| Aufgabe | | Geben Sie die komplexen Nullstellen des reellen Polynoms F = [mm] X^6 [/mm] - 64 in der Form x + y * i mit exakten Werten x, y R sowie die reelle und komplexe Primfaktorzerlegung von F an. |
Hallo,
Ich versuche die obige Übungsaufgabe zu lösen und habe dazu mit Hilfe der Formel
[mm] z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{R} [/mm] * [mm] e^{j(\bruch{\alpha}{n} + k * \bruch{2 * \pi}{n})}
[/mm]
die komplexen Nullstellen bestimmt. Hierfür habe ich dann raus:
x0 = [mm] \wurzel{3} [/mm] + 1*j
x1 = [mm] \wurzel{3} [/mm] - 1*j
x2 = 2*j
x3 = -2*j
x4 = [mm] -\wurzel{3} [/mm] + 1*j
x5 = [mm] -\wurzel{3} [/mm] - 1*j
OK soweit ist es ja auch klar, nur verstehe ich den letzten Teil der Aufgabe mit der Primfaktorzerlegung nicht. Was soll ich da jetzt genau tun und wie muss man da vorgehen? Kann mir Jemand wohl bitte einen Tip geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Geben Sie die komplexen Nullstellen des reellen Polynoms F
> = [mm]X^6[/mm] - 64 in der Form x + y * i mit exakten Werten x, y
> R sowie die reelle und komplexe Primfaktorzerlegung von F
> an.
> Hallo,
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> Ich versuche die obige Übungsaufgabe zu lösen und habe dazu
> mit Hilfe der Formel
>
> [mm]z_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{R}[/mm] * [mm]e^{j(\bruch{\alpha}{n} + k * \bruch{2 * \pi}{n})}[/mm]
>
> die komplexen Nullstellen bestimmt. Hierfür habe ich dann
> raus:
>
> x0 = [mm]\wurzel{3}[/mm] + 1*j
> x1 = [mm]\wurzel{3}[/mm] - 1*j
>
> x2 = 2*j
> x3 = -2*j
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> x4 = [mm]-\wurzel{3}[/mm] + 1*j
> x5 = [mm]-\wurzel{3}[/mm] - 1*j
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Wurzeln mußt Du nochmal überprüfen, da ist Dir etwas schiefgegangen - leider durchschaue ich nicht recht, welchen Fehler Du gemacht hast.
Wenn Du bei erneutem Rechnen wieder diese Wurzeln bekommst, rechne vor.
Stutzig sollte Dich eigentlich gemacht haben, daß bei Deinen Lösungen 2 und -2 gar nicht vorkommen.
Mal angenommen, Du hast die Nullstellen [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_6 [/mm] gefunden, dann ist [mm] (x-a_1)*....*(x-a_6) [/mm] die komplexe Primfaktorzerlegung.
Die reelle bekommst Du, wenn Du jeweils zwei Klammern, bei denen [mm] a_i [/mm] und [mm] a_j [/mm] konjugiert komplex sind, zusammenfaßt. Das ergibt ein reelles quadratisches polynom ohne reelle Nullstelle.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Sa 21.02.2009 | | Autor: | pehdr |
Hallo Angela,
Vielen Dank für die Antwort. Ja das 2 und -2 da nicht vorkamen, darüber hatte ich mich vorhin schon gewundert. Ich werde es nun nochmal erneut rechnen!
Ist Primfaktorzerlegung also das gleiche wie Linearfaktorzerlegung? Der Begriff hat mich verwirrt, denn in meinen Büchern ist immer nur von Linearfaktorzerlegung die Rede, aber zu Primfaktorzerlegung steht dort nichts!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 21.02.2009 | | Autor: | pehdr |
Hallo,
Ich habe doch nocheinmal eine Frage und zwar verstehe ich noch nicht so ganz, wie ich denn nun mit Hilfe dieser Formel die Nullstellen bestimme. Mein Problem ist, was genau muss ich für [mm] \alpha [/mm] denn einsetzen?
In meinem Buch ist hierzu als Beispiel das Polynom [mm] x^3 [/mm] - 8 gegeben und dort wird für [mm] \alpha [/mm] dann [mm] \pi [/mm] eingesetzt...ich habe das bei der obigen Aufgabe genauso versucht, dann bekomme ich diese Lösungen...
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> In meinem Buch ist hierzu als Beispiel das Polynom [mm]x^3[/mm] - 8
> gegeben und dort wird für [mm]\alpha[/mm] dann [mm]\pi[/mm] eingesetzt...
Hallo,
das kommt mir nicht richtig vor.
Es ist doch hier der Winkel =0, denn 8=8*(1+i*0)= [mm] 8*(\cos [/mm] 0 + [mm] i*\sin [/mm] 0).
Man erhält die Lösungen
[mm] x_0=8^{1/3}(\cos [/mm] (0 + [mm] 0*\bruch{2\pi}{3}) [/mm] + [mm] i*\sin [/mm] (0 + [mm] 0*\bruch{2\pi}{3}) [/mm] )= 2
[mm] x_1=8^{1/3}(\cos [/mm] (0 + [mm] 1*\bruch{2\pi}{3}) [/mm] + [mm] i*\sin [/mm] (0 + [mm] 1*\bruch{2\pi}{3}) [/mm] )= 2( (-1/2) + [mm] i*\wurzel{3}/2 [/mm] )
[mm] x_2=8^{1/3}(\cos [/mm] (0 + [mm] 2*\bruch{2\pi}{3}) [/mm] + [mm] i*\sin [/mm] (0 + [mm] 2*\bruch{2\pi}{3}) [/mm] )= ...
Entsprechend dann bei Deiner Aufgabe.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Sa 21.02.2009 | | Autor: | pehdr |
Hallo,
Ah Ok, Nun ist alles klar, vielen Dank!
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