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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Menge
Komplexe Menge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Mi 09.09.2009
Autor: YesWeCan

Aufgabe
Was ist

[mm] |z+2|+|z+3i|\le5 [/mm]

für eine Menge?
[mm] z\in\IC [/mm]  

Hi,
Das Bsp. habe ich selbst konstuiert, möchte wissen wie man solch eine Menge löst.
meine erste Vermutung war, es sei ein ausgefullter Kreis mit Rad. 5 und Mittelpunkt -2-3i.

Habe mit MatLab an die 70 Werte durchgehackt, mit der Ergebnis, dass die Menge in der Gegend von -1,5-1,5i mim Rad ca. 2 sich befinden müsste, genaures lässt sich aber nicht sagen. Somit schein meine erste vermutung flasch zu sein!

dann habe ich versucht fur z x und yi einzusetzen und zu lösen:

[mm] |(x+2)+yi|+|x+(yi+3i)|\le5 [/mm]

[mm] \wurzel{(x+2)^2+(yi)^2}+\wurzel{x^2+((y+3)i)^2}\le5 [/mm]

[mm] \wurzel{x^2+2x+4+y^2}+\wurzel{x^2+y^2+6y+9}\le5 [/mm]

komme an dieser Stelle nicht weiter, Hilfe!

Was würde passieren wenn statt + - die Rechenvorschrift wäre also:
[mm] |z+2|-|z+3i|\le5 [/mm] ????



Und noch eine Frage zum Rechnen mit komplexen Zahlen:
angenommen ich habe komplexen Polynom 2 Grades: [mm] z^2+az+b=0 [/mm] mit a,b [mm] \in\IC, [/mm] ich soll alle Lösungen davon bestimmen.
Wende p,q Formel an ... Wurzel aus der Diskrim.(in diesem Fall, Komplexe Zahl), dann erhalte ich 2 Kompl. Zahlen (geicher Betrag, 2 Winkel)...
nun, da [mm] -\bruch{p}{2}\pm [/mm] (meine 2 Kom.Zahlen)-->dann wäre ich schon bei 4 Lösungen für die Gleichung. Zusätlich heißt es wenn z eine Nullstelle ist dann ist auch [mm] \overline{z} [/mm]  eine NS...
dann wäre ich bei 8 Lösungen für eien Quadr. gleichung!

wenn ich falsch liege bitte um Korrektur!

Gruss
Alex

        
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Komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Mi 09.09.2009
Autor: kuemmelsche

Guten Abend,

Hinweis vorweg: [mm] $|z|=\wurzel{z*\overline{z}}=\wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] (ohne "i"). Der Betrag ist völlig reell (und das ist auch gut so^^).

[mm] |(x+2)+yi|+|x+(yi+3i)|\le5 \gdw \wurzel{(x+2)^2+(y)^2}+\wurzel{x^2+(y+3)^2}\le5 \gdw \wurzel{(x+2)^2+(y)^2} \le 5 - \wurzel{x^2+(y+3)^2} \gdw [/mm](Hier Fallunterscheidung)
[mm] (x+2)^2+(y)^2 \le 25 - 2*\wurzel{x^2+(y+3)^2} + x^2+(y+3)^2 \gdw 4x - 6y -30 \le -2 * \wurzel{x^2+(y+3)^2} [/mm]

So kommst du vllt weiter... (Tippfehler und Rechenfehler vorbehalten^^)

Ps.: Ich denke es wird auf was kreisiges hinauslaufen.

lg Kai

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Komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mi 09.09.2009
Autor: isi1

Zunächst die Lösung der Grenze:

$ |z+2|+|z+3i|=5 $

Der geometrische Ort, bei dem die Summe der Abstände zu zwei (Brenn-)Punken konstant ist, ist die Ellipse.
Brennpunkte z=-2, z=-3i
Die Punkte z=0 und z=-2-3i liegen auf der Ellipse


$ [mm] |z+2|+|z+3i|\le5 [/mm] $ wird wohl das Innere der Ellipse sein, oder?

Bei  $ [mm] z^2+az+b=0 [/mm] $ mit a,b $ [mm] \in\IC, [/mm] $ bekomme ich übrigens nur 2 Lösungen. Könntest Du bitte Deine 8 Lösungen als Beispiel angeben?

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Komplexe Menge: mein Weg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mi 09.09.2009
Autor: YesWeCan

Aufgabe
[mm] z^2+(2+3i)z+(1+i)=0 [/mm]


[mm] z=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2+3i}{2})^2-(1-i)} [/mm]

  [mm] =-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-1,25+3i-(1-i)} [/mm]

  [mm] =-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-2,25+2i} [/mm]
  
  [mm] =-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{3,0104e^{i2,415}} [/mm]
  
  [mm] =-1+1,5i\pm\(\wurzel{3,014}e^{i1,2075} [/mm] und [mm] \wurzel{3,014}e^{i4,349} [/mm]

[mm] z1=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i1,2075} [/mm]
[mm] z2=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i1,2075} [/mm]
[mm] z3=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i4,349} [/mm]
[mm] z4=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i4,349} [/mm]
da für die komplexen NS gilt:wenn z NS ist, dann ist [mm] \overline{z} [/mm] auch eine NS

[mm] z5=\overline{z1} [/mm]

[mm] z6=\overline{z2} [/mm]

[mm] z7=\overline{z3} [/mm]

[mm] z8=\overline{z4} [/mm]


ist das so richtig ?

Gruss
Alex

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Komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Mi 09.09.2009
Autor: felixf

Hallo!

> [mm]z^2+(2+3i)z+(1+i)=0[/mm]
>  
>
> [mm]z=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2+3i}{2})^2-(1-i)}[/mm]
>  
> [mm]=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-1,25+3i-(1-i)}[/mm]
>  
> [mm]=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-2,25+2i}[/mm]
>    
> [mm]=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{3,0104e^{i2,415}}[/mm]

Spaetestens nach dem Runden sind das keine Loesungen mehr, sondern nur noch Annaeherungen von Loesungen.

> [mm]=-1+1,5i\pm\(\wurzel{3,014}e^{i1,2075}[/mm] und
> [mm]\wurzel{3,014}e^{i4,349}[/mm]
>
> [mm]z1=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i1,2075}[/mm]
> [mm]z2=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i1,2075}[/mm]
> [mm]z3=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i4,349}[/mm]
>  [mm]z4=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i4,349}[/mm]

Das sind zwei Loesungen, da jeweils zwei gleich sind.

(Lies dir mal meine Antwort durch.)

>   da für die komplexen NS gilt:wenn z NS ist, dann ist
> [mm]\overline{z}[/mm] auch eine NS

Nein, das gilt hier eben nicht! Wenn $z$ eine Nullstelle von [mm] $z^2 [/mm] + a z + b$ ist, dann ist [mm] $\overline{z}$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $z^2 [/mm] + [mm] \overline{a} [/mm] z + [mm] \overline{b}$! [/mm] Nur wenn $a = [mm] \overline{a}$ [/mm] und $b = [mm] \overline{b}$ [/mm] ist, dann gilt die obige Aussage (und dies bedeutet gerade, dass $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] sind).

LG Felix


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Komplexe Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 Do 10.09.2009
Autor: isi1

Und was ist jetzt? Habt ihr zu meiner Ellipsenlösung keine Meinung?

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Komplexe Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:55 Do 10.09.2009
Autor: fred97


> Und was ist jetzt? Habt ihr zu meiner Ellipsenlösung keine
> Meinung?



Das :

"
$ [mm] |z+2|+|z+3i|\le5 [/mm] $ wird wohl das Innere der Ellipse sein"

stimmt nicht ganz ! Es ist das Innere der Ellipse + Rand

FRED

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Komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mi 09.09.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Und noch eine Frage zum Rechnen mit komplexen Zahlen:
>  angenommen ich habe komplexen Polynom 2 Grades: [mm]z^2+az+b=0[/mm]
> mit a,b [mm]\in\IC,[/mm] ich soll alle Lösungen davon bestimmen.
>  Wende p,q Formel an ... Wurzel aus der Diskrim.(in diesem
> Fall, Komplexe Zahl), dann erhalte ich 2 Kompl. Zahlen
> (geicher Betrag, 2 Winkel)...

Genau.

>  nun, da [mm]-\bruch{p}{2}\pm[/mm] (meine 2 Kom.Zahlen)-->dann wäre
> ich schon bei 4 Lösungen für die Gleichung.

Nein, es sind immer noch zwei: wenn $x$ und $y$ Wurzeln einer komplexen Zahl sind, dann gilt $x = [mm] \pm [/mm] y$ -- die zwei verschiedenen moeglichen Winkel unterscheiden sich um [mm] $\pi$, [/mm] und der Winkel [mm] $\pi$ [/mm] entspricht grad dem Minus.

> Zusätlich
> heißt es wenn z eine Nullstelle ist dann ist auch
> [mm]\overline{z}[/mm]  eine NS...

Das gilt nur dann, wenn $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] sind. Und im dem Fall ist die diskriminante auch eine reelle Zahl.

Ist $r [mm] \ge [/mm] 0$ eine reelle Zahl, so ist [mm] $\overline{\sqrt{r}} [/mm] = [mm] \sqrt{r}$ [/mm] und [mm] $\overline{-\sqrt{r}} [/mm] = [mm] -\sqrt{r}$, [/mm] du erhaelst also keine neue Loesung.

Ist $r < 0$ eine reelle Zahl, so ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] von der Form $i [mm] \cdot [/mm] q$ mit $q [mm] \in \IR$. [/mm] Dann gilt jedoch [mm] $\overline{\sqrt{r}} [/mm] = [mm] \overline{i q} [/mm] = -i q = [mm] -\sqrt{r}$. [/mm]

Insofern bekommst du wieder nur die gleichen beiden Loesungen raus.

>  dann wäre ich bei 8 Lösungen für eien Quadr.
> gleichung!

Du hast 8 Loesungen, von denen sehr viele gleich sind ;)

LG Felix


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