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| Aufgabe | Berechnen Sie alle komplexen Lösungen von z !
Gleichung: [mm] (z-j)^4=16j [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das ist eine Übungsaufgabe. Wie kann man die komplexen Lösungen aus der Gleichung errechnen. Ich habe da schon ein bischen was probiert komme aber kein ergebniss. Ich wäre für einen Lösungsansatz sehr dankbar.
MFG Andre Schaaf
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Hallo Andre,
ich würde erstmal $w:=z-j$ substituieren und die Formel von de Moivre benutzen:
Du hast die Gleichung [mm] $w^4=16j$
[/mm]
Damit ist [mm] $\left|w^4\right|=|w|^4=|16j|=16$ [/mm] und [mm] $arg(w^4)=arg(16j)=\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Berechne nun mir de Moivre die 4ten Wurzeln:
Es ist ja [mm] $w^4=\left|w^4\right|\cdot{}\left[\cos\left(arg\left(w^4\right)\right)+j\cdot{}\sin\left(arg\left(w^4\right)\right)\right]$ [/mm] die trigonometrische Darstellung von [mm] $w^4$
[/mm]
Damit:
[mm] $w_k=\sqrt[4]{\left|w^4\right|}\left(\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)+j\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}\right)\right)$ [/mm] für $k=0,1,2,3$
[mm] $\Rightarrow_k=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2}k\right)+j\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2}k\right)\right)$ [/mm] für $k=0,1,2,3$
Nun kannst du [mm] w_0,...,w_3 [/mm] berechnen. Nachher das Rücksubstituieren nicht vergessen 
Hoffe, damit kommst du weiter
Gruß
schachuzipus
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