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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mi 20.08.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{\gamma}^{} \left| z \right| \, dz [/mm] |
z(t)= -t+it, 0<=t<=2
[mm] \integral_{0}^{2} \left| -i+ti \right|i \, dt [/mm]
=i [mm] \integral_{0}^{1} \ (1-t) \, dt + \integral_{1}^{2} (t-1) \, dt [/mm]=i
Wie komme ich auf i??
Für [mm] z(t)=e^{it} [/mm] [-[mm]\bruch{\pi}{2} [/mm],[mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]]
[mm] \integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} \left| e^{it} \right|ie^{it} \, dt [/mm]=2i
Wie komme ich auf 2i???
Ich verstehe schon nicht warum die Stammfunktion nur
[mm] e^{-it} [/mm] ist , was passiert mit [mm] ie^{it}??
[/mm]
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> [mm]\integral_{\gamma}^{} \left| z \right| \, dz [/mm]
> z(t)= -t+it, 0<=t<=2
>
> [mm]\integral_{0}^{2} \left| -i+ti \right|i \, dt [/mm]
> =i
> [mm]\integral_{0}^{1} \ (1-t) \, dt + \integral_{1}^{2} (t-1) \, dt [/mm]=i
>
> Wie komme ich auf i??
$i$ kommt in Spiel, weil ja aufgrund der Wahl von $z(t)=-1+ti$ folgt, dass [mm] $dz=i\, [/mm] dt$ ist. Der Rest ist einfach Integration von $|-1+ti|=|-1+t|$ von $t=0$ bis $t=2$.
>
> Für [mm]z(t)=e^{it}[/mm] [-[mm]\bruch{\pi}{2} [/mm],[mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]]
>
> [mm]\integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} \left| e^{it} \right|ie^{it} \, dt [/mm]=2i
>
> Wie komme ich auf 2i???
> Ich verstehe schon nicht warum die Stammfunktion nur
> [mm]e^{-it}[/mm] ist , was passiert mit [mm]ie^{it}??[/mm]
Was "verschwindet" ist nur [mm] $|e^{it}|$, [/mm] weil dieser Faktor konstant $1$ ist, für alle $t$. Die Stammfunktion des verbleibenden Integranden [mm] $\mathrm{i}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ [/mm] ist [mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$:
[/mm]
[mm]\integral_{-\pi/2}^{+\pi/2}\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\right|\cdot i\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\, dt=\integral_{-\pi/2}^{+\pi/2} i\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\, dt=\Big[\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\Big]_{t=-\pi/2}^{+\pi/2}=\mathrm{i}-(-\mathrm{i})=2\mathrm{i}[/mm]
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