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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 So 30.10.2011 | | Autor: | Reducer |
| Aufgabe | Bestimme alle Lösungen der folgenden Gleichung in [mm] \IC
[/mm]
[mm] e^{z}=-3-2i [/mm] |
Hab beim Auflösen der Gleichung so meine Bedenken
Soweit bin ich schon gekommen:
[mm] e^{z}\hat=coshz+sinhz
[/mm]
Ich erweitere also die Gleichung mit i
(coshz+sinhz)i=(-3-2i)i
icoshz+isinhz=2-3i
icoshz=cosh(iz) und isinhz=sinh(iz)
cosh(iz)=cos(z) und sinh(iz)=isin(z)
Also hab ich jetzt:
cos(z)+isin(z)=2-3i
Mein nächster Ansatz wäre quadrieren
[mm] cos(z)^{2}+(-sin(z))^{2}=(2-3i)^{2}
[/mm]
demnach müsste gelten:
1=-5-12i
Nun ist mir nicht ganz klar ob das die Lösung des Problems (der Gleichung) ist, denn z ist weg..
Für Hilfe dankbar grüsst Reducer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 30.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Habe gerade gemerkt, dass ich die Summe falsch quadriert habe
[mm] (cos(z)-sin(z))^2
[/mm]
wären
1-2*cos(z)sin(z)=-5-12i
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> Bestimme alle Lösungen der folgenden Gleichung in [mm]\IC[/mm]
>
> [mm]e^{z}=-3-2i[/mm]
> Hab beim Auflösen der Gleichung so meine Bedenken
>
> Soweit bin ich schon gekommen:
>
> [mm]e^{z}\hat=coshz+sinhz[/mm]
>
> Ich erweitere also die Gleichung mit i
>
> (coshz+sinhz)i=(-3-2i)i
>
> icoshz+isinhz=2-3i
>
> icoshz=cosh(iz) und isinhz=sinh(iz)
> cosh(iz)=cos(z) und sinh(iz)=isin(z)
>
> Also hab ich jetzt:
>
> cos(z)+isin(z)=2-3i
>
> Mein nächster Ansatz wäre quadrieren
>
> [mm]cos(z)^{2}+(-sin(z))^{2}=(2-3i)^{2}[/mm]
>
> demnach müsste gelten:
>
> 1=-5-12i
(die letzten Gleichungen können niemals stimmen ...)
> Nun ist mir nicht ganz klar ob das die Lösung des Problems
> (der Gleichung) ist, denn z ist weg..
Hallo Reducer,
ich sehe nicht, was die Ersetzung von [mm] e^z [/mm] durch cosh(z)+sinh(z)
bringen soll. Nutze besser die Zerlegung von z in Realteil und Ima-
ginärteil, also $\ z=u+i*v$ und damit
$\ [mm] e^z\ [/mm] =\ [mm] e^{u+i*v}\ [/mm] =\ [mm] e^{u}*e^{i*v}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{e^{u}}_r*(cos(v)+i*sin(v))$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 So 30.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Hallo Al-Chwarizmi
Danke für den Tipp!
Kannst mir noch einen weiteren Schritt aufzeigen. Sehe noch nicht ganz wo die Sache hinführen soll.
Wenn ich
[mm] e^{u}*(cos(v)+i*sin(v))=-3-2i
[/mm]
quadriere erhalte ich
[mm] e^{2u}*cos^{2}(v)+2cos(v)isin(v)-sin^{2}(v)=5+12i
[/mm]
Richtiger Ansatz?
Grüsse Reducer
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Hallo Reducer,
> Hallo Al-Chwarizmi
>
> Danke für den Tipp!
>
> Kannst mir noch einen weiteren Schritt aufzeigen. Sehe noch
> nicht ganz wo die Sache hinführen soll.
>
> Wenn ich
>
> [mm]e^{u}*(cos(v)+i*sin(v))=-3-2i[/mm]
>
> quadriere erhalte ich
>
> [mm]e^{2u}*cos^{2}(v)+2cos(v)isin(v)-sin^{2}(v)=5+12i[/mm]
>
> Richtiger Ansatz?
>
Leider nein.
Vergleiche zunächst Real- und Imaginärteil:
[mm]e^{u}*\cos\left(v\right)=-3[/mm]
[mm]e^{u}*\sin\left(v\right)=-2[/mm]
> Grüsse Reducer
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 So 30.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Hallo Mathepower
> Leider nein.
>
> Vergleiche zunächst Real- und Imaginärteil:
>
> [mm]e^{u}*\cos\left(v\right)=-3[/mm]
>
> [mm]e^{u}*\sin\left(v\right)=-2[/mm]
Hmm ja wenn ich vergleiche, sehe ich die Steigung der Lösungsgeraden,definiert durch cos(v)=-3 auf der Real-Achse und sin(v)=2 auf der Imaginär-Achse. Beide multipliziert mit der konstanten [mm] e^{u}.
[/mm]
Mit dem Tangens kriege ich den Winkel
[mm] tan(a)=\bruch{-2}{-3}=33.69 [/mm] Grad
Meine Lösung liegt also auf der Geraden
[mm] e^{a}*cos(33.69)+ie^{a}*sin(33.69)
[/mm]
???
Kommt das hin?
Grüsse Reducer
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Hallo Reducer,
> Hallo Mathepower
>
> > Leider nein.
> >
> > Vergleiche zunächst Real- und Imaginärteil:
> >
> > [mm]e^{u}*\cos\left(v\right)=-3[/mm]
> >
> > [mm]e^{u}*\sin\left(v\right)=-2[/mm]
>
> Hmm ja wenn ich vergleiche, sehe ich die Steigung der
> Lösungsgeraden,definiert durch cos(v)=-3 auf der
> Real-Achse und sin(v)=2 auf der Imaginär-Achse. Beide
> multipliziert mit der konstanten [mm]e^{u}.[/mm]
>
> Mit dem Tangens kriege ich den Winkel
> [mm]tan(a)=\bruch{-2}{-3}=33.69[/mm] Grad
>
> Meine Lösung liegt also auf der Geraden
> [mm]e^{a}*cos(33.69)+ie^{a}*sin(33.69)[/mm]
> ???
> Kommt das hin?
Hmm, ich finde das sehr undurchsichtig, was aber auch an der späten Stunde und den 2 Gläsern Merlot liegen kann 
Ich würde spontan die beiden Gleichungen
1) [mm]e^{u}\cos(v)=-3[/mm] und
2) [mm]e^{u}\sin(v)=-2[/mm]
quadrieren und dann addieren, dann bekommst du wegen [mm]\sin^2(v)+\cos^2(v)=1[/mm] schonmal sehr leicht [mm]u[/mm] "geschenkt" ...
> Grüsse Reducer
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Guten Morgen schachuzipus
Na dann mal prost
Danke für die Tipps
Quadriert ergibts
[mm] e^{2u}=13
[/mm]
[mm] u=\bruch{log_{e}13}{2}=1.28
[/mm]
eingesetzt in Gleichungen 1) und 2)
[mm] v_{1}=cos^{-1}(\bruch{-3}{e^{1,28}})=146.31 [/mm] Grad
[mm] v_{2}=sin^{-1}(\bruch{-2}{e^{1,28}})=-33.69 [/mm] Grad
Wie definiere ich nun die Lösungsmenge?
Grüsse Reducer
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Hallo Reducer,
> Guten Morgen schachuzipus
>
> Na dann mal prost
>
> Danke für die Tipps
>
> Quadriert ergibts
>
> [mm]e^{2u}=13[/mm]
>
> [mm]u=\bruch{log_{e}13}{2}=1.28[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> eingesetzt in Gleichungen 1) und 2)
>
> [mm]v_{1}=cos^{-1}(\bruch{-3}{e^{1,28}})=146.31[/mm] Grad
>
> [mm]v_{2}=sin^{-1}(\bruch{-2}{e^{1,28}})=-33.69[/mm] Grad
>
Diese Winkel stimmen nicht.
> Wie definiere ich nun die Lösungsmenge?
>
> Grüsse Reducer
Gruss
MathePower
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Hallo Reducer,
> Hallo Mathepower
>
> > Leider nein.
> >
> > Vergleiche zunächst Real- und Imaginärteil:
> >
> > [mm]e^{u}*\cos\left(v\right)=-3[/mm]
> >
> > [mm]e^{u}*\sin\left(v\right)=-2[/mm]
>
> Hmm ja wenn ich vergleiche, sehe ich die Steigung der
> Lösungsgeraden,definiert durch cos(v)=-3 auf der
> Real-Achse und sin(v)=2 auf der Imaginär-Achse. Beide
> multipliziert mit der konstanten [mm]e^{u}.[/mm]
>
> Mit dem Tangens kriege ich den Winkel
> [mm]tan(a)=\bruch{-2}{-3}=33.69[/mm] Grad
>
> Meine Lösung liegt also auf der Geraden
> [mm]e^{a}*cos(33.69)+ie^{a}*sin(33.69)[/mm]
> ???
> Kommt das hin?
Nein, der Winkel stimmt nicht.
Ganz abgesehen davon, hat die gegebene Gleichung
unendlich viele Lösungen.
Gruss
MathePower
> Grüsse Reducer
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