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Guten Abend!,
obige Gleichung habe ich versucht zu lösen.
[mm] \underbrace{\gdw}_{z=x+jy}sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})
[/mm]
davon hab ich jetzt real und imaginärteil getrennt:
[1]re: [mm] sin(x)*cosh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})
[/mm]
[2]im: $ cos(x)*sinh(y)=0 $
da [2] recht lösbar aussieht:
[mm] cos(x)*sinh(y)=0\gdw [/mm] y=0 [mm] \vee x=\bruch{\pi}{2}+k\pi
[/mm]
diese beiden Lösungen hab ich dann nacheinander in [1] eingesetzt:
1.) y=0->[1]: [mm] sin(x)*cosh(0)=sin(\sqrt{x^2+0^2})\gdw [/mm] sin(x)*1=sin|x|
als Lösung würde ich direkt sagen [mm] x\in\IR_+ [/mm] sowie [mm] x=k\pi [/mm] mit allen(auch negativen) [mm] k\in\IZ [/mm] wegen den gemeinsamen Nullstellen.
2.) [mm] x=\bruch{\pi}{2}+k\pi->[1]:sin(\bruch{\pi}{2}+k\pi)*cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k\pi)^2+y^2})
[/mm]
[mm] \gdw\pm cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k\pi)^2+y^2})
[/mm]
wegen dem W_cosh und W_sin muss auch hier das y=0 sein:
[mm] \gdw=\pm1=sin(|\bruch{\pi}{2}+k\pi|)
[/mm]
Bei dieser Aufgabe wundert es mich also, dass y=0 2 mal rauskommt. Und quasi habe ich ja nun 3 unterschiedliche x-werte gefunden, muss man diese nocheinmal einer Probe unterziehen? (Bzw. sind die schritte überhaupt richtig  )
Danke fürs lesen und einen schönen Abend!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> sin(z)=sin|z|
> Guten Abend!,
> obige Gleichung habe ich versucht zu lösen.
>
> [mm]\underbrace{\gdw}_{z=x+jy}sin(x)*cosh(y)+j*cos(x)*sinh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]
> davon hab ich jetzt real und imaginärteil getrennt:
> [1]re: [mm]sin(x)*cosh(y)=sin(\sqrt{x^2+y^2})[/mm]
> [2]im: [mm]cos(x)*sinh(y)=0[/mm]
Stimmt!
> da [2] recht lösbar aussieht:
> [mm]cos(x)*sinh(y)=0\gdw[/mm] y=0 [mm]\vee x=\bruch{\pi}{2}+k\pi[/mm]
Richtig!
> diese
> beiden Lösungen hab ich dann nacheinander in [1]
> eingesetzt:
> 1.) y=0->[1]: [mm]sin(x)*cosh(0)=sin(\sqrt{x^2+0^2})\gdw[/mm]
> sin(x)*1=sin|x|
> als Lösung würde ich direkt sagen [mm]x\in\IR_+[/mm] sowie [mm]x=k\pi[/mm]
> mit allen(auch negativen) [mm]k\in\IZ[/mm] wegen den gemeinsamen
> Nullstellen.
Okay, würde ich spontan auch sagen. Das dürfte stimmen.
> 2.)
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}+k\pi->[1]:sin(\bruch{\pi}{2}+k\pi)*cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k\pi)^2+y^2})[/mm]
> [mm]\gdw\pm cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k\pi)^2+y^2})[/mm]
Schreib mal besser
[mm] $(-1)^k cosh(y)=sin(\sqrt{(\bruch{\pi}{2}+k\pi)^2+y^2})$
[/mm]
Da ich unter Zeitdruck bin, kann ich diese Gleichung leider nicht lösen. Überprüfe daher genau, welche $y$ Du hier wählen kannst.
> wegen dem W_cosh und W_sin muss auch hier das y=0 sein:
> [mm]\gdw=\pm1=sin(|\bruch{\pi}{2}+k\pi|)[/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe wundert es mich also, dass y=0 2 mal
> rauskommt. Und quasi habe ich ja nun 3 unterschiedliche
> x-werte gefunden, muss man diese nocheinmal einer Probe
> unterziehen?
Wundere Dich nicht, das passt schon. Eine Probe musst Du nicht mehr machen. Du hast ja schon gezeigt, dass sie die Gleichheit erfüllen.
> (Bzw. sind die schritte überhaupt richtig
Ja sind sie. Ich hätte es ähnlich gemacht.
> )
> Danke fürs lesen und einen schönen Abend!
Gruß Denny
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