Komplexe Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 21.10.2014 | | Autor: | mcx |
| Aufgabe | ii) Schreiben Sie die komplexe Gleichung [mm] z^{3}+5z^{2} [/mm] = [mm] \overline{z}+3i [/mm] als zwei reelle Gleichungen, wobei
z = x+iy ist (x;y [mm] \in \IR). [/mm] Trennen Sie hierzu in der Gleichung nach Real- und Imaginarteil.
(Die Losung der Gleichung ist nicht verlangt.) |
Hallo,
Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Hat jemand eine Starthilfe für mich damit ich wenigstens in die richtige Richtung rechnen kann. Ich hab schon versucht x+iy einzusetzen aber das gibt nur einen Zahlensalat und ist wahrscheinlich auch der komplett falsche Ansatz. Ich bin mir auch nicht wirklich sicher was damit gemeint ist die Gleichung als 2 reelle Gleichungen zu schreiben.
Über Eure Hilfe wäre ich Euch sehr dankbar
|
|
| |
|
Hallo mcx,
> ii) Schreiben Sie die komplexe Gleichung [mm]z^{3}+5z^{2}[/mm] =
> [mm]\overline{z}+3i[/mm] als zwei reelle Gleichungen, wobei
> z = x+iy ist (x;y [mm]\in \IR).[/mm] Trennen Sie hierzu in der
> Gleichung nach Real- und Imaginarteil.
> (Die Losung der Gleichung ist nicht verlangt.)
>
>
> Hallo,
>
> Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Hat jemand
> eine Starthilfe für mich damit ich wenigstens in die
> richtige Richtung rechnen kann. Ich hab schon versucht x+iy
> einzusetzen aber das gibt nur einen Zahlensalat und ist
> wahrscheinlich auch der komplett falsche Ansatz. Ich bin
> mir auch nicht wirklich sicher was damit gemeint ist die
> Gleichung als 2 reelle Gleichungen zu schreiben.
>
Der gewählte Ansatz ist der Richtige.
Poste diesen "Zahlensalat".
Mit 2 reellen Gleichungen ist gemeint,
die erhaltene komplexe Gleichung in
Real- und Imaginärteil aufzuteilen.
> Über Eure Hilfe wäre ich Euch sehr dankbar
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Di 21.10.2014 | | Autor: | mcx |
[mm] z^{3}+5z^{2}=\overline{z}+3i
[/mm]
[mm] (x+iy)^{3}+5(x+iy)^{2}=x-iy+3i
[/mm]
[mm] x^{3}+ixy+ix^{2}y-xy^{2}+5ixy+ix^{2}y-xy^{2}+5ixy-xy^{2}-iy^{3}-5y{2}=x-iy+3i
[/mm]
Wenn ich das jetzt ein bisschen "aufräume" komm ich darauf:
[mm] (x^{3}-3xy^{2}-x)+i(-y^{3}+2x^{2}y+11xy-y+3)=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 21.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]z^{3}+5z^{2}=\overline{z}+3i[/mm]
Du solltest schreiben: Für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] ist mit [mm] $z=x+iy\,$ [/mm] obige Gleichung ÄQUIVALENT zu
> [mm](x+iy)^{3}+5(x+iy)^{2}=x-iy+3i[/mm]
[mm] $\iff$
[/mm]
> [mm]x^{3}+ixy+ix^{2}y-xy^{2}+5ixy+ix^{2}y-xy^{2}+5ixy-xy^{2}-iy^{3}-5y{2}=x-iy+3i[/mm]
Die rechte Seite stimmt - was machst Du da aber linkerhand? Ich sehe
das gerade nicht. Du kannst
[mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}a^{n-k} b^{k}$
[/mm]
auch für $a,b [mm] \in \IC$ [/mm] anwenden. Oder Du rechnest so:
[mm] $(x+i*y)^3+5*(x+i*y)^2=(x+i*y)^2*\{x+i*y+5\}=...$
[/mm]
Jedenfalls sehe ich...
> Wenn ich das jetzt ein bisschen "aufräume" komm ich
> darauf:
>
> [mm](x^{3}-3xy^{2}-x)+i(-y^{3}+2x^{2}y+11xy-y+3)=0[/mm]
hier nicht, wie Du darauf kommst. Vgl. auch mit
![[]](/images/popup.gif) Wolframalpha (Expanded Form...)
Danach bedenke: Eine komplexe Zahl ist genau dann 0, wenn ihr Realteil
und ihr Imaginärteil 0 ist. Dann hast Du das äquivalente reelle GLS da
stehen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 21.10.2014 | | Autor: | mcx |
So ich habe das jetzt nochmal nachgerechnet und komme auf das richtige Ergebnis. Was ich zuvor gemacht habe musste schiefgehen weil ich am Anfang ziemlich fahrlässig ausgeklammert habe und einen Fehler gemacht habe.
Jetzt bekomme ich:
[mm] x^{3}-3xy^{2}+5x^{2}-5y^{2}-x+3ix^{2}y-iy^{3}+10ixy+iy-3i=0
[/mm]
Ausklammern und umformen:
[mm] (x^{3}-3xy+5x^{2}-5y^{2}-x)+i(3x^{2}y-y^{3}+10xy+y-3)=0
[/mm]
(I) [mm] x^{3}-3xy+5x^{2}-5y^{2}-x=0
[/mm]
(II) [mm] 3x^{2}y-y^{3}+10xy+y-3=0
[/mm]
Danke nochmal! Ich hätte eventuell noch eine Frage. Kann ich die hier posten oder soll ich dazu nochmal einen neuen Thread anfangen?
Gruß
mcx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 21.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist jetzt richtig, Neue Frage besser in neuem thread.
Gru0 leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 21.10.2014 | | Autor: | mcx |
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 21.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ii) Schreiben Sie die komplexe Gleichung [mm]z^{3}+5z^{2}[/mm] =
> [mm]\overline{z}+3i[/mm] als zwei reelle Gleichungen, wobei
> z = x+iy ist (x;y [mm]\in \IR).[/mm] Trennen Sie hierzu in der
> Gleichung nach Real- und Imaginarteil.
> (Die Losung der Gleichung ist nicht verlangt.)
>
>
> Hallo,
>
> Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Hat jemand
> eine Starthilfe für mich damit ich wenigstens in die
> richtige Richtung rechnen kann. Ich hab schon versucht x+iy
> einzusetzen aber das gibt nur einen Zahlensalat und ist
> wahrscheinlich auch der komplett falsche Ansatz. Ich bin
> mir auch nicht wirklich sicher was damit gemeint ist die
> Gleichung als 2 reelle Gleichungen zu schreiben.
machen wir ein anderes Beispiel:
Schreiben Sie die Gleichung
[mm] $z^2=z+1\,$
[/mm]
als (reelles) Gleichungssystem (d.h. als zwei reelle Gleichungen in zwei
reellen Variablen).
Dann rechnet man mit [mm] $z=x+iy\,$ [/mm] ($x,y [mm] \in \IR$)
[/mm]
[mm] $(x+iy)^2=(x+iy)+1$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2+i2xy-y^2=x+iy+1$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(x^2-y^2-x-1)+i(2xy-y)=0\,.$
[/mm]
Damit haben wir das äquivalente reelle Gleichungssystem
(i) [mm] $x^2-y^2-x-1=0\,,$
[/mm]
(ii) [mm] $2xy-y=0\,.$
[/mm]
(Grund: $r+i*s=0$ ($r,s [mm] \in \IR$) [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $r=0\,$ [/mm] UND [mm] $s=0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Di 21.10.2014 | | Autor: | mcx |
Das hat wirklich sehr geholfen. Vielen Dank. Wenn man sich das mit r+i*s =0 veranschaulicht dann macht das schon mehr Sinn.
EDIT: Ich schau mir was ich da oben gerechnet habe nochmal an
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 21.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Das hat wirklich sehr geholfen. Vielen Dank. Wenn man sich
> das mit r+i*s =0 veranschaulicht dann macht das schon mehr
> Sinn.
beweise es doch. Beachte: [mm] $(\IC,+)$ [/mm] ist eine (abelsche) Gruppe, d.h. es gibt
genau ein neutrales Element. Falls das nicht bekannt ist, so ist natürlich erst
mal das zu beweisen (was aber relativ trivial ist).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
