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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Do 18.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe eigentlich zwei Fragen. Die eine ist zur Aufgabe selbst (die ist nicht überdringend, da ich eh irgendwann lösungen bekomme, wäre aber froh wenn ich n Tipp bekomme) die andere ist mehr was zum Bauchverständnis.
Also es geht um die "komplexe" Funktion f: C \ {0} -> C
f(z) = 1/2 * (z + 1/z)
Ich soll zeigen was passiert wenn man die Funktion auf einen Kreis |z| = r anwendet. Zum einen für den spezial Fall (r = 1) und für (r [mm] \not= [/mm] 1)
Ich definiere z = a + ib. Naja ich habe z in Exponentieller Form geschrieben und weil der Betrag constant ist hab ich dafür r eingesetz. z = [mm] r*e^{i*arctan(a/b)}.
[/mm]
Darauf hab ich das in die Gleichung eingesetzt und für das [mm] e^{Argument} [/mm] die Form von cos(Argument) und sin(Argument) benutzt. Nach vereinfachen folgt folgendes:
|f(z)|= [mm] 1/2*\wurzel{r^{2} + 1/r^{2} + 4 cos(arctan(b/a))^{2} - 2}
[/mm]
Für r = 1 bekommt man f(z) = |cos(arctan(b/a))|.
Frage: Wie kann ich das deuten?
Frage: Für r [mm] \not= [/mm] bekomm ich noch was unverständlicheres. Wie kann ich das deuten?
Es soll laut Aufabe was mit Ellipsen zu tun haben. Ich seh da keine Ellipsenform.
Meine eigentliche Frage ist zu diesem Link:
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html
Ich finde das spannend. Nur was wird da gemacht? Also man kann anstelle eines Flügelprofils einen Zylinder untersuchen und nacher die Feststellungen am Zylinder durch die Funktion auf den Flügel übertragen?
Ich versteh nicht viel. Ich weiss nicht obs an meinem English oder der Mathe liegt.
Gruss
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> Hallo,
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> Ich habe eigentlich zwei Fragen. Die eine ist zur Aufgabe
> selbst (die ist nicht überdringend, da ich eh irgendwann
> lösungen bekomme, wäre aber froh wenn ich n Tipp bekomme)
> die andere ist mehr was zum Bauchverständnis.
> Also es geht um die "komplexe" Funktion f: C \ {0} -> C
> f(z) = 1/2 * (z + 1/z)
>
> Ich soll zeigen was passiert wenn man die Funktion auf
> einen Kreis |z| = r anwendet. Zum einen für den spezial
> Fall (r = 1) und für (r [mm]\not=[/mm] 1)
>
> Ich definiere z = a + ib. Naja ich habe z in Exponentieller
> Form geschrieben und weil der Betrag constant ist hab ich
> dafür r eingesetz. z = [mm]r*e^{i*arctan(a/b)}.[/mm]
> Darauf hab ich das in die Gleichung eingesetzt und für
> das [mm]e^{Argument}[/mm] die Form von cos(Argument) und
> sin(Argument) benutzt. Nach vereinfachen folgt folgendes:
>
> f(z) = [mm]1/2*\wurzel{r^{2} + 1/r^{2} + 4 cos(arctan(b/a))^{2} - 2}[/mm]
>
> Für r = 1 bekommt man f(z) = |cos(arctan(b/a))|.
> Frage: Wie kann ich das deuten?
>
> Frage: Für r [mm]\not=[/mm] bekomm ich noch was
> unverständlicheres. Wie kann ich das deuten?
>
> Es soll laut Aufabe was mit Ellipsen zu tun haben. Ich seh
> da keine Ellipsenform.
>
> Meine eigentliche Frage ist zu diesem Link:
> http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html
>
> Ich finde das spannend. Nur was wird da gemacht? Also man
> kann anstelle eines Flügelprofils einen Zylinder
> untersuchen und nacher die Feststellungen am Zylinder durch
> die Funktion auf den Flügel übertragen?
> Ich versteh nicht viel. Ich weiss nicht obs an meinem
> English oder der Mathe liegt.
>
>
> Gruss
Hallo qsxqsx,
zu der ersten Teilaufgabe ist nützlich zu wissen, dass im
Falle |z|=1 die Gleichung [mm] $\frac{1}{z}\ [/mm] =\ [mm] \overline{z}$ [/mm] gilt.
Damit wird
$\ f(z)\ =\ [mm] \frac{1}{2} [/mm] * (z + [mm] \frac{1}{z})\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2} [/mm] * (z + [mm] \overline{z})\ [/mm] =\ Re(z)$
Dies bedeutet, dass der Einheitskreis zu seiner Projektion
auf die x-Achse "plattgedrückt" wird. Für den Fall [mm] r\not=1
[/mm]
solltest du ausprobieren, ob dazu die kartesische oder die
Polardarstellung (entweder mit [mm] r*e^{i*\varphi} [/mm] oder mit [mm] r*(cos(\varphi)+i*sin(\varphi)) [/mm]
geeigneter ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Fr 19.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Al-Chwarizmi...
Stimmt, Polardarstellung kann oft vieles vereinfachen(oder auch erschweren)...danke...
Ich hab jetzt einfach allg. Imaginärteil und Realteil der Funktion berechnet.
[mm] f(r*e^{iPhi}) [/mm] = Re + Im*i = [mm] 1/2*cos(phi)[(r^{2}+1)/r] [/mm] + [mm] 1/2*i*sin(phi)[(r^{2}-1)/r] [/mm]
=> x = Re(f(z)) , y = Im(f(z)) - ist das sinnvoll?
So und jetz variiert einfach der Winkel. Das müsste eine Ellipse sein - sieht mal so aus.
Wie bekomm ichs auf die Form [mm] x^{2} [/mm] / [mm] a^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] / [mm] b^{2} [/mm] = 1 ?
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html
Versteht das niemand?; )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Fr 19.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Al-Chwarizmi...
>
> Stimmt, Polardarstellung kann oft vieles vereinfachen(oder
> auch erschweren)...danke...
>
> Ich hab jetzt einfach allg. Imaginärteil und Realteil der
> Funktion berechnet.
>
> [mm]f(r*e^{iPhi})[/mm] = Re + Im*i = [mm]1/2*cos(phi)[(r^{2}+1)/r][/mm] +
> [mm]1/2*i*sin(phi)[(r^{2}-1)/r][/mm]
>
> => x = Re(f(z)) , y = Im(f(z)) - ist das sinnvoll?
>
> So und jetz variiert einfach der Winkel. Das müsste eine
> Ellipse sein - sieht mal so aus.
>
> Wie bekomm ichs auf die Form [mm]x^{2}[/mm] / [mm]a^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] / [mm]b^{2}[/mm]
> = 1 ?
$a= [mm] \bruch{1}{2}(r+1/r), [/mm] b= [mm] \bruch{1}{2}|r-1/r|$
[/mm]
FRED
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> http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html
> Versteht das niemand?; )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Fr 19.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke:)
Also es ist mir schon klar das 1/2 * (r [mm] \pm [/mm] 1/r) die Halbachsen sind. Man kann den Winkel Null oder 90° setzen...
Aber wenn ich das jetzt nicht wüsste. Wie kann man das Mathematisch umformen und auf die Form bringen:
[mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}} [/mm] = 1
Ich komm wirklich nicht drauf.
Nochmals zu meinem NASA Link: Was wird den dort gemacht? Wieso untersucht man da einen Zylinder und es gibt ein Tragflächenprofil? Wieso gibt das genau eine Tragflächenprofil? Und wieso ist nach der Umformung mit der Funktion das eine Feld(Im applet) Plötzlich "in Bewegung" und das erstere nicht? Wieso soll es nach Anwendung der Funktion in Bewegung sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 19.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei r>0 , r [mm] \ne [/mm] 1 und
$ a= [mm] \bruch{1}{2}(r+1/r), [/mm] b= [mm] \bruch{1}{2}|r-1/r| [/mm] $
Weiter sei z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|=r. Es gibt also ein t [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] z=e^{it} [/mm] . Ist $u= Re(f(z))$ und $v=Im(f(z))$, so gilt (nachrechnen !!):
$f(z) = [mm] \bruch{1}{2}(r+1/r)cos(t)+i \bruch{1}{2}(r-1/r)sin(t)$
[/mm]
Also: $u= [mm] \bruch{1}{2}(r+1/r)cos(t)$ [/mm] und $v= [mm] \bruch{1}{2}(r-1/r)sin(t)$
[/mm]
Somit: [mm] $u^2= a^2cos^2(t), v^2= b^2sin^2(t)$
[/mm]
Fazit: [mm] $\bruch{u^2}{a^2}+\bruch{v^2}{b^2}= cos^2(t)+sin^2(t)=1$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Fr 19.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich habe eben nach einem [mm] u^{2} [/mm] gesucht welches gleich [mm] cos(x)^{2} [/mm] / [mm] a^{2} [/mm] ist und analog zum [mm] v^{2} [/mm] ...darum binich nich drauf gekommen...
Was ist mit meinem Link? Ich habe das gefühl das ist unsichtbar was ich da schreibe? Darf man laut Forenregeln keine Fragen dazu stellen, so sagt es mir, dann frage ich auch nicht mehr danach...
Danke.
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Hallo,
> Was ist mit meinem Link?
Der funktioniert doch per copy&paste.
Wenn du eine direkte Verlinkung willst, nutze die "link-Umgebung"
Unterhalb des Eingabefensters ist der Formeleditor, dort auf "link" klicken und den entsprechenden Quellcode kopieren und entsprechend ausfüllen ...
So etwa [url=http://linkurl] Link-Text [/url]
> Ich habe das gefühl das ist
> unsichtbar was ich da schreibe? Darf man laut Forenregeln
> keine Fragen dazu stellen, so sagt es mir, dann frage ich
> auch nicht mehr danach...
Doch, die Seite ist doch ok ...
> Danke.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Sa 20.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Also ich schreib jetzt hald mal den Link in dieser Form --->
![[]](/images/popup.gif) AirfoilCalculation
Es geht um die Joukowski Transformation. Da ist doch ein Zylinder in Rotation welcher sich durch ein Medium bewegt. Jetzt wendet man eine Transformation auf alle Punkte an und dann bekommt man eine Flügelprofil. Wieso gibt das dann genau ein Flügelprofil und nicht ein Dreieck oder sowas? Könnte ja auch sein? Ein FLÜGELPROFIL. Ein Flügelprofil ist doch was vom Mensch erschaffenes. Wieso gibt es dann genau ein Flügelprofil?
Dann gibt es da im Applet so auswählmöglichkeiten unter "Airfoil Shape" bzw. "Cylinder Ball in Put"(blau geschrieben): "Airfoil, Ellipse, Ball"
Jetzt kann ich da wählen was es geben soll? Die Transformation ist doch immer die Gleiche, wie wird das bestimmt?
Gruss
Ich bin mir einfach nicht sicher was ich da lese.
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