Komplexe Fourierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | | Entwickeln sie die Funktion [mm] f(x)=x-\pi [/mm] im Intervall [0, [mm] 2\pi[ [/mm] in eine Fourierreihe. Zerlegen sie diese in Real- und Imaginärteil. |
Hallo,
ich hab ein Problem, dass ich diese Aufgabe nicht ohne Taschenrechner lösen kann. Vllt könnt ihr mir da helfen.
[mm] c_{k}=\bruch{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2\pi}{(x-\pi)*e^{-ikx} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}*i
[/mm]
Dieses Ergebnis kann ich nur mit dem Taschenrechner berechnen, da ich nicht auf die Stammfunktion komme.
Weiter würde ich dann so vorgehen:
[mm] a_{k}=c_{k}+c_{-k}
[/mm]
[mm] b_{k}=i*(c_{k}-c_{-k})
[/mm]
und dann die "normale" reelle Fourierreihe weiter.
Da ich aber nichtmal [mm] c_{k} [/mm] ausrechnen kann, denke ich dass es da noch eine andere Möglichkeit geben muss.
DANKE !!!!
|
|
| |
|
Hallo Tobus,
> Entwickeln sie die Funktion [mm]f(x)=x-\pi[/mm] im Intervall [0,
> [mm]2\pi[[/mm] in eine Fourierreihe. Zerlegen sie diese in Real- und
> Imaginärteil.
> Hallo,
> ich hab ein Problem, dass ich diese Aufgabe nicht ohne
> Taschenrechner lösen kann. Vllt könnt ihr mir da helfen.
>
> [mm]c_{k}=\bruch{1}{2\pi}[/mm] *
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(x-\pi)*e^{-ikx} dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k}*i[/mm]
>
> Dieses Ergebnis kann ich nur mit dem Taschenrechner
> berechnen, da ich nicht auf die Stammfunktion komme.
>
> Weiter würde ich dann so vorgehen:
>
> [mm]a_{k}=c_{k}+c_{-k}[/mm]
> [mm]b_{k}=i*(c_{k}-c_{-k})[/mm]
>
> und dann die "normale" reelle Fourierreihe weiter.
>
> Da ich aber nichtmal [mm]c_{k}[/mm] ausrechnen kann, denke ich dass
> es da noch eine andere Möglichkeit geben muss.
Nun, berechne die Stammfunktion mit Hilfe der partiellen Integration.
>
> DANKE !!!!
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
ja genau das habe ich auch schon probiert, jedoch weiß ich nicht wie ich von komplexen Zahlen Stammfunktionen bilden kann (in diesem Beispiel von [mm] e^{-ikx})
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Tobus,
> Hallo,
> ja genau das habe ich auch schon probiert, jedoch weiß
> ich nicht wie ich von komplexen Zahlen Stammfunktionen
> bilden kann (in diesem Beispiel von [mm]e^{-ikx})[/mm]
Nun, das ist nichts anderes als die Stammfunktion von [mm]e^{c*x}[/mm].
Wobei hier das [mm]c \in \IC[/mm].
Bilde hier also ganz "normal" die Stammfunkion.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 26.07.2009 | | Autor: | Mobus |
ah ok danke schonmal aber was mach ich mit dem teil (x- [mm] \pi)
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Mobus,
Das [mm] $(x-\pi)$ [/mm] ist doch ein linearer Term, der beim Ableiten zu 1 wird.
Also bietet sich partielle Integration an.
Setze dazu [mm] $(x-\pi)=:u(x)$ [/mm] und [mm] $e^{-ikx}=:v'(x)$ [/mm] ...
Dann hast du das Integral [mm] $\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}=...$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Mobus |
danke des war schonmal eine große hilfe!!!!
Ich hab allerdings immer noch das problem denn anhand der formel
ck = 1/ [mm] 2\pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm] * [mm] e^{-ikx} [/mm] soll ich jetzt des ck ausrechnen.
Die Lösung lautet hierzu ck = i/k
Aber ich komm einfach nich auf die lösung ich versteh nich was ich beim ausrechnen vom integral falsch mach ;(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mo 27.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> danke des war schonmal eine große hilfe!!!!
> Ich hab allerdings immer noch das problem denn anhand der
> formel
> ck = 1/ [mm]2\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm] * [mm]e^{-ikx}[/mm]
> soll ich jetzt des ck ausrechnen.
> Die Lösung lautet hierzu ck = i/k
> Aber ich komm einfach nich auf die lösung ich versteh
> nich was ich beim ausrechnen vom integral falsch mach ;(
Dann zeig doch mal Deine Rechnungen !
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Mobus |
meine rechnung is ungefähr 3 mal so lang wie die ursprüngliche.
Soll ich die da jetzt echt reinstellen?
ich brauch doch nur die rechnung für s ck kann mir nieman dsagen wie de sgeht?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> meine rechnung is ungefähr 3 mal so lang wie die
> ursprüngliche.
Naja, das ist ne einfache (im Sinne von nur einmal anzuwendender) partieller Integration, das sind 3 Zeilen...
> Soll ich die da jetzt echt reinstellen?
Ja, lass ruhig den Vorfaktor und die Integralgrenzen weg, damit wir erstmal sehen, ob deine Stammfunktion richtig ist ...
> ich brauch doch nur die rechnung für s ck kann mir nieman
> dsagen wie de sgeht?
Wenn du deine Rechnung einstellst, werden wir sie schon korrigieren, aber vorrechnen tun wir nicht --> Forenregeln
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Mobus |
(x - [mm] \pi) [/mm] * 1/-ik * e^-ikx - [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] * 1 * 1/-ik * e^-ikx
also so siehtd es nach de rpartiellen integration aus..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mo 27.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> (x - [mm]\pi)[/mm] * 1/-ik * e^-ikx - [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] * 1 *
> 1/-ik * e^-ikx
> also so siehtd es nach de rpartiellen integration aus..
Wenn Du das
$(x - [mm] \pi) [/mm] * [mm] \bruch{1}{-ik} [/mm] * [mm] e^{-ikx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{-ik} * e^{-ikx} dx}$
[/mm]
meinst, dann sieht es gut aus
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 27.07.2009 | | Autor: | Mobus |
ja? aber wenn ich des jetzt integier bekomm ich was mit sin und cos raus und ich muss ja auf die lösung i/k kommen
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ja? aber wenn ich des jetzt integier bekomm ich was mit sin
> und cos raus und ich muss ja auf die lösung i/k kommen
Nein, wenn du das letzte Integral berechnest, kannst du erstmal die Konstante rausziehen, also
[mm] $-\int{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\int{e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx}$
[/mm]
Also wie ganz weit oben in einer Antwort schon bemerkt.
Dann alles zusammenmodeln und die Grenzen einsetzen. Bedenke: [mm] $i^2=-1$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{i}=-i$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 28.07.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo schachuzipus,
danke schonmal für die Hilfe
[mm] -\int{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\int{e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx}
[/mm]
ergibt bei mir:
[mm] \bruch{1}{k^{2}}*e^{-ikx}
[/mm]
Das Ergebnis soll lauten: [mm] \bruch{1}{k}*i
[/mm]
Ich sitze schon seit einer Stunde dran, und komme nicht drauf, wie ich das nun umformen kann.
Vllt könnte mir noch einer helfen ?
DANKE !!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Di 28.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo schachuzipus,
> danke schonmal für die Hilfe
>
> [mm]-\int{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\int{e^{-ikx} \ dx}=\frac{1}{ik}\cdot{}\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx}[/mm]
>
> ergibt bei mir:
>
> [mm]\bruch{1}{k^{2}}*e^{-ikx}[/mm]
Das ist richtig, aber jetzt musst du die Grenzen einsetzen, dann wurst du sehen, dass 0 herauskommt.
>
> Das Ergebnis soll lauten: [mm]\bruch{1}{k}*i[/mm]
Ja, das kommt vom ersten Term
[mm] \left[(x - \pi) \cdot{} \bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx}]\right]_{0}^{2\pi} - \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} = (\bruch{\pi}{-ik} e^{-2ik\pi} - \bruch{-\pi}{-ik}) - \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} = \bruch{2i\pi}{k} - \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} = \bruch{2i\pi}{k} [/mm]
da [mm] $e^{-2ik\pi}=1$ [/mm] für ganze Zahlen k.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
ich habe nun noch lange gerechnet, und dank der vielen Hilfen habe ich es (fast) geschafft ;)
Mein Rechenweg ist genau so, also:
[mm] \left[(x - \pi) \cdot{} \bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx}]\right]_{0}^{2\pi} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} [/mm]
= [mm] (\bruch{\pi}{-ik} e^{-2ik\pi} [/mm] - [mm] \bruch{-\pi}{-ik}) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2i\pi}{k} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx} [/mm]
= [mm] -\bruch{2i\pi}{k}
[/mm]
Ich habe aber beim Ergebnis ein - dabei, also ein Vorzeichenfehler.
Was mache ich noch falsch ?
VIELEN DANK und eine gute Nacht !! ;)
|
|
|
| |
|
Hallo tobus,
> Hallo,
> ich habe nun noch lange gerechnet, und dank der vielen
> Hilfen habe ich es (fast) geschafft ;)
>
> Mein Rechenweg ist genau so, also:
> [mm]\left[(x - \pi) \cdot{} \bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx}]\right]_{0}^{2\pi}[/mm]
> - [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx}[/mm]
>
> = [mm](\bruch{\pi}{-ik} e^{-2ik\pi}[/mm] - [mm]\bruch{-\pi}{-ik})[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2i\pi}{k}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{-ik} \cdot{} e^{-ikx} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bis hierher passt es!
>
> = [mm]-\bruch{2i\pi}{k}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ziehe beim letzten Integral die Konstante raus, um den VZF zu umgehen
[mm] $\frac{2\pi i}{k}-\int\limits_{0}^{2\pi}{\frac{1}{-ik}\cdot{}e^{-ikx} \ dx}=\frac{2\pi i}{k}\red{+}\frac{1}{ik}\cdot{}\int\limits_{0}^{2\pi}{e^{-ikx} \ dx}=\frac{2\pi i}{k}+\frac{1}{ik}\cdot{}\left[\left(\frac{1}{-ik}\right)\cdot{}e^{-ikx}\right]_0^{2\pi}=\frac{2\pi i}{k}+\frac{1}{k^2}\cdot{}\left[e^{-ikx}\right]_0^{2\pi}=...$
[/mm]
>
> Ich habe aber beim Ergebnis ein - dabei, also ein
> Vorzeichenfehler.
> Was mache ich noch falsch ?
Vorzeichendreher im letzten Integral ...
>
> VIELEN DANK und eine gute Nacht !! ;)
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mi 29.07.2009 | | Autor: | Tobus |
AHH super, VIELEN DANK
|
|
|
|
