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Welches Rechteck mit dem Umfang 30 cm hat die kürzeste Diagonale?
Bei dieser Aufgabenstellung habe ich erst mal die Seiten a und b des Rechtecks ausgerechnet, nur dann weiss ich nicht mehr weiter wie ich die Diagonale benutzen soll, habe überlegt vielleicht mit dem Satz des Pythagoras? doch da finde ich keine geeignete Ansätze um ein Extremum auszurechnen! Bitte um Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kannnichtalles!
> Welches Rechteck mit dem Umfang 30 cm hat die kürzeste
> Diagonale?
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> Bei dieser Aufgabenstellung habe ich erst mal die Seiten a
> und b des Rechtecks ausgerechnet, nur dann weiss ich nicht
> mehr weiter wie ich die Diagonale benutzen soll, habe
> überlegt vielleicht mit dem Satz des Pythagoras? doch da
> finde ich keine geeignete Ansätze um ein Extremum
> auszurechnen! Bitte um Hilfe
Also, wie du a und b berechnet hast, das möchte ich mal gerne wissen. 
Aber dein Ansatz mit Pythagoras ist richtig. Die Aufgabe geht folgendermaßen:
Hauptbedingung:
[mm] f(a,b)=\wurzel{a^2+b^2} [/mm] soll minimiert werden
(siehst du, wie man auf diese Funktion kommt? Das ist ja genau die Diagonale, mit Pythagoras!)
Nebenbedigung:
2a+2b=30 (das ist die Formel für den Umfang)
[mm] \gdw
[/mm]
2a=30-2b
[mm] \gdw
[/mm]
a=15-b
(du kannst natürlich genauso gut nach b auflösen, das ist bei diesen Aufgaben immer total egal!  )
Nun setzt du die Nebenbedingung in die Hauptbedingungn ein und erhältst:
[mm] f(b)=\wurzel{(15-b)^2+b^2}=\wurzel{225-30b+2b^2}
[/mm]
Hiervon musst du nun das Minimum bestimmen, also die Ableitung berechnen (Vorsicht: dies ist eine vergettete Funktion, also innere Ableitung mal äußere!), diese gleich 0 setzen und dann gucken, ob die zweite Ableitung >0 ist, damit du einen Tiefpunkt erhältst.
Schaffst du das? Schick doch mal deine Rechnungen, dann kontrolliere ich es und helfe ggf. weiter.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Übrigens müsste da als Lösung ein Quadrat rauskommen (kannst du dir auch leicht überlegen).
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Zunächst möchte ich mich für deine Bemühungen bedanken, du hast mir wirklich
weiter geholfen.
Nur habe ich jetzt eine ganz komplexe ableitung, mit der ich leider nichts
anzufangen weiss:
4b+30/2wurzel225-30b+2b²=0
wie kann ich da nach b auflösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Hallo kannnichtalles
wenn ich das alles richtig verstanden habe ( du solltest den Formeleditor benutzen ) , dann genügt es den oberen Term , also 4b + 30 = 0 zu setzen. Denn ein Bruch wird Null , wenn der Zähler 0 ist! Also würdest du für b = - 7,5 erhalten. Das kann aber nicht , da die Seite b nicht negativ sein darf. Du mußt also irgendwo ein Minus unterschlagen haben.
Gruß Fabian
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ja hast recht, habe das "-" in dem term unterschlagen 4b-30, doch ich habe es nicht verstanden wieso die wurzel weg fällt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Ok,
Hier ein einfaches Beispiel.
[mm] \bruch{x^{2}-4}{x}=0
[/mm]
Wir machen jetzt einfach mal einen Zwischenschritt
[mm] \bruch{x^{2}-4}{x}=0 [/mm] | [mm] \*x
[/mm]
[mm] \bruch{x(x^{2}-4)}{x}=0\*x
[/mm]
Auf der linken Seite lässt sich das x kürzen. Und [mm] 0\*x [/mm] ist gleich 0.
Jetzt muß dir eigentlich klar werden warum es aureicht den Zähler null zu setzen.
Um es noch einfacher auszudrücken: Null durch irgendeine Zahl ist gleich 0
Gruß Fabian
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Sry dass ich dich bzw. euch mit dieser Art der Aufgabe so nerve, aber um den Tiefpunkt zu berechnen benötige ich die zweite Ableitungdieser Funktion, nur ich komme einfach nicht dahinter diese zu bekomme, bei mir kommen die ganze zeit sehr krumme zahlen raus, würde mich fruen wenn ihr mir helfen könntet!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Fugre |
> Sry dass ich dich bzw. euch mit dieser Art der Aufgabe so
> nerve, aber um den Tiefpunkt zu berechnen benötige ich die
> zweite Ableitungdieser Funktion, nur ich komme einfach
> nicht dahinter diese zu bekomme, bei mir kommen die ganze
> zeit sehr krumme zahlen raus, würde mich fruen wenn ihr mir
> helfen könntet!
>
Hallo Kannnichtalles,
die Sache mit dem Nullsetzen ist ganz logisch, wenn du dir vor Augen führst, wann
ein Bruch 0 ist, du wirst feststellen, dass dies immer der Fall ist, wenn der Zähler 0 ist und
deshalb musst du nur den Zähler betrachten.
Ich empfehle dir hier keine 2. Ableitung zu machen, da du dafür recht komplizierte Rechnungen
anstellen musst und diese eine Hauptfehlerquelle sind. Viel einfacher ist hier das
Vorzeichenwechselkriterium zu betrachten.
In unserem Fall ist f'(b)=0 für b=7,5 .
Da dies die einzige Nullstelle von f'(b) ist, kannst du einen beliebigen Wert kleiner und einen beliebigen
Wert größer 7,5 wählen um zu überprüfen, ob sich das Vorzeichen ändert und somit die hinreichende
Bedingung für einen Extrempunkt erfüllt ist.
Dieses Kriterium ist erfüllt und der Graph ist bis 7,5 fallend und von da an steigend, somit ist B(7,5/f(7,5)) ein
Tiefpunkt.
Ergebnis ist leider nicht sehr schön.
Ich hoffe, dass wir dir helfen konnten. Sollte noch etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Jenny_89 |
Hallo,
ich sitze hier an derselben Aufgabe und bin fastso weit wie mein Vorgänger.
Ich habe ebenfalls die Gleichung [mm] c(x)=(x^{2}+(15-x)^{2}){}
[/mm]
versucht abzuleiten.
Dafür habe ich die Kettenregel angewandt und habe jetzt:
[mm] c'(x)=\bruch{1}{2}*(2*x^{2}+225-30x)^{\bruch{-1}{2}}*(4x-30)
[/mm]
Ich würde c'(x) jetzt gerne gleich null setzen, um das Minimum zu bestimmen, komme aber überhaupt nicht weiter.
Auch die andere Lösung konnte ich nicht nachvollziehen, da die Wurzel meiner Meinung nach doch in den Zähler wandert und nicht in den Nenner. Also kann ich sie ja auch nicht weglassen.
Kann mir jemand helfen?
Das wäre echt total nett.
Super, dass ihr hier sowas macht :)
Liebe Grüße,
Jenny
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> Hallo,
Hey!
> ich sitze hier an derselben Aufgabe und bin fastso weit
> wie mein Vorgänger.
> Ich habe ebenfalls die Gleichung
> [mm]c(x)=\wurzel{(x^{2}+(15-x)^{2})}[/mm]
> versucht abzuleiten.
> Dafür habe ich die Kettenregel angewandt und habe jetzt:
>
> [mm]c'(x)=\bruch{1}{2}*(2*x^{2}+225-30x)^{\bruch{-1}{2}}*(4x-30)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zunächst einmal ist ja [mm] x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{x^{\bruch{1}{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
Daher kannst du deine Ableitung auch schreiben als:
[mm] c'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{2x^{2}+225-30x}}*(4x-30)
[/mm]
[mm] =\bruch{4x-30}{2\wurzel{2x^{2}+225-30x}}
[/mm]
So und jetzt gilt das gleiche wie oben (du hast ja ein ganz altes Thema rausgekramt ) Ein Bruch wird genau dann Null, wenn der Zähler Null ist. Also musst du nur noch 4x-30=0 lösen.
> Ich würde c'(x) jetzt gerne gleich null setzen, um die
> Gleichung zu lösen, komme aber überhaupt nicht weiter.
> Kann mir jemand helfen?
> Das wäre echt total nett.
> Super, dass ihr hier sowas macht :)
>
> Liebe Grüße,
> Jenny
>
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Jenny_89 |
Hi,
vielen Dank für die Antwort!
Das ging ja so schnell, dass ich gar nicht mitbekommen habe, dass meine Frage schon bearbeitet wurde und noch was ergänzt hab, was jetzt aber überflüssig geworden ist.
Ich hab's jetzt nämlich endlich kapiert...hatte einfach völlig übersehen, dass x^-1/2 dafür sorgt, dass die Wurzel in den Nenner geht :)
Schönen Abend noch!
Jenny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mi 11.06.2008 | | Autor: | froehli |
Hi,
Ich hoffe ich kriege hier so späd noch hilfe.
Ich bin grad total verwirrt wie ich die Ableitung von einer Wurzel bilde, in der mehrere Zahlen/Variablen stehen.
Komme da kaum weiter :/ wäre nice wenn mir jemand schnell sagen könnte wie ich die erste ableitung schritt für schritt machen kann.
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> Hi,
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> Ich hoffe ich kriege hier so spät noch Hilfe.
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> Ich bin grad total verwirrt wie ich die Ableitung von einer
> Wurzel bilde, in der mehrere Zahlen/Variablen stehen.
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> Komme da kaum weiter :/ wäre nice wenn mir jemand schnell
> sagen könnte wie ich die erste ableitung schritt für
> schritt machen kann.
Du musst die Kettenregel und vielleicht weitere Ablei-
tungsregeln anwenden. Damit dir dies jemand kurz
erklären kann, wäre es aber am besten, wenn du so
drei, vier Beispiele von der Sorte angibst, die du meinst.
Nur ein kleines Beispiel:
f(x) = [mm] \wurzel{3a-b*sin^2(x)}
[/mm]
Die Ableitung von [mm] \wurzel(x) [/mm] wäre [mm] \bruch{1}{2*\wurzel(x)} [/mm] (kennst du sicher !)
Unter der Wurzel steht aber nicht einfach x , sondern eine Funktion
t(x) = [mm] 3a-b*sin^2(x)
[/mm]
In diesem Fall ist f'(x) = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel(t(x))}*t'(x)
[/mm]
Wir brauchen also zunächst noch die Ableitung t'(x):
t'(x)=0-b*(2*sin(x)*cos(x))
(a ist konstanter Summand ---> Ableitung 0 ; b als konstanter Faktor bleibt;
zum Ableiten von [mm] (sin(x))^2 [/mm] : nochmals Kettenregel !)
Insgesamt also:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel(3a-b*sin^2(x))}*(-b*(2*sin(x)*cos(x)))=-\ \bruch{b*sin(x)*cos(x)}{\wurzel(3a-b*sin^2(x))}
[/mm]
GN
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