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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Phil92 |
| Aufgabe | | Aus einer Holzplatte, die die Form eines gleichschenkeligen Dreiecks mit den Seiten c=60cm, a=b=50cm hat, soll ein möglichtst großes rechteckiges Brett herausgeschnitten werden. Wie viel Prozent Abfall entstehen? |
Hallo,
ich scheiter gerade völluig an dieser Extremwertaufgabe. Ich habe bereits die Höhe (40cm) und den Flächeninhalt (1200cm²) herausgefunden (Satz des Pythagoras). Habe auch schon eine Hauptbedingung, also jene, die ich brauche, um den Flächeninhalt des Brettes zu berechnen. Diese lautet bei mir = x * y. X Habe ich die Länge des Brettes genannt, y die Höhe. Doch nun brauche ich noch weitere Nebenbedingungen, damit ich in meiner Hauptbedingung nur noch eine Unbekannte habe (zurzeit sind ja noch ALLE Variablen unbekannt...)
Ich weiß echt nicht mehr weiter. Und wie das danach mit den Hoch- und/oder Tiefpunkten (Ableitungen) geht, hab ich auch nicht wirklich verstanden.
Wäre echt super nett, wenn jemand die Lösung (oder wenigstens nur eine kleine Hilfestellung) geben könnte, denn ich verzweifel hier total.
MfG Philipp
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Zunächst: Deine Aufgabe hat nichts mit Differentialgleichungen zu tun, für Extremwertaufgaben gibt es eine Extra-Kategorie 
> ich scheiter gerade völluig an dieser Extremwertaufgabe.
> Ich habe bereits die Höhe (40cm) und den Flächeninhalt
> (1200cm²) herausgefunden (Satz des Pythagoras). Habe auch
> schon eine Hauptbedingung, also jene, die ich brauche, um
> den Flächeninhalt des Brettes zu berechnen. Diese lautet
> bei mir = x * y. X Habe ich die Länge des Brettes genannt,
> y die Höhe.
Hier ist erstmal ein Bild zur Veranschaulichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alle deine bisherigen Berechnungen waren richtig. Du hast auch eine Hauptbedingungen,
$A(x,y) = x*y$
herausgefunden. Nun brauchst du noch eine Nebenbedingung. Man sieht ja an dem Bild und ich denke, du kannst es dir auch vorstellen, dass wenn ich die Breite x des Rechtecks ändere, sofort auch die Höhe y verändert wird. x und y hängen also irgendwie miteinander zusammen.
Nun habe ich das Dreieck nicht umsonst in ein Koordinatensystem eingezeichnet... Die Strecke AC kann als lineare Funktion interpretiert werden, sie ist eine Gerade im Koordinatensystem.
Finde ihre Funktionsgleichung heraus (y = m*x + n)!
Wenn du die Breite x deines Rechtecks festlegst, dann befindet sich der untere linke Punkt des Rechtecks bei dem x-Wert [mm] $\frac{60-x}{2}$ [/mm] (Überleg dir das!).
Wenn du nun diesen Wert [mm] $\frac{60-x}{2}$ [/mm] in die oben berechnete lineare Funktion für x einsetzt, erhältst du genau den y-Wert des oberen linken Punkts des Rechtecks, was gleichzeitig der Höhe deines Rechtecks für diesen Wert x entspricht!
Das sieht bei dir dann so aus:
$y = [mm] m*\left(\frac{60-x}{2}\right) [/mm] +n$
Nun kannst du den Term für y in deine Hauptbedingung einsetzen, es ergibt sich eine Funktion A(x), die nur von x abhängt.
Mit $A'(x) = 0$ berechnest du nun alle x, für die der Flächeninhalt des Rechtecks extrem wird (minimal oder maximal).
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Phil92 |
Danke für die schnelle und wirklich gut erklärte Antwort!
Allerdings hab ich doch noch eine Frage, denn wenn ich
y=m*((60-x)/2)+n
in die Hauptgleichung einsetzte, steht ja dann da:
A(x) = x * (m*((60-x)/2)+n)
Das n kann ich ja wegfallen lassen, weil die Strecke AC im Nullpunkt beginnt. Ist das m denn 1,3333...(40/30)? Wegen m=y/x --> m=40/30?
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Hallo Phil92,
> Allerdings hab ich doch noch eine Frage, denn wenn ich
>
> y=m*((60-x)/2)+n
>
> in die Hauptgleichung einsetzte, steht ja dann da:
>
> A(x) = x * (m*((60-x)/2)+n)
>
> Das n kann ich ja wegfallen lassen, weil die Strecke AC im
> Nullpunkt beginnt. Ist das m denn 1,3333...(40/30)? Wegen
> m=y/x --> m=40/30?
Alles richtig. Es ist dann $m = [mm] \frac{4}{3}$, [/mm] also insgesamt:
$A(x) = x * [mm] \frac{4}{3}*\frac{60-x}{2}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 25.10.2009 | | Autor: | Phil92 |
Danke. Habe die Aufgabe gelöst. Die Breite müsste 30cm betragen, die Höhe 20cm.
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Hallo Phil,
> Danke. Habe die Aufgabe gelöst. Die Breite müsste 30cm
> betragen, die Höhe 20cm.
Klingt gut 
Grüße,
Stefan
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