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| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion
f = u + iv : [mm] \IC \to \IC, f(z):=\begin{cases} z^5|z|^{-4}, & z \not= 0, \\ 0, & z = 0. \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) Die Funktion F := (u,v) : [mm] R^2 \to \IR^2 [/mm] besitzt in [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] = (0,0) partielle Ableitungen, die den Cauchy-Riemannschen Dgln genügen.
(b) Die Funktion f ist in [mm] z_{0} [/mm] = 0 nicht komplex differenzierbar. |
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 22.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten die Funktion
> f = u + iv : [mm]\IC \to \IC, f(z):=\begin{cases} z^5|z|^{-4}, & z \not= 0, \\ 0, & z = 0. \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> (a) Die Funktion F := (u,v) : [mm]R^2 \to \IR^2[/mm] besitzt in
> [mm](x_{0}, y_{0})[/mm] = (0,0) partielle Ableitungen, die den
> Cauchy-Riemannschen Dgln genügen.
> (b) Die Funktion f ist in [mm]z_{0}[/mm] = 0 nicht komplex
> differenzierbar.
> Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
berechne mal die partielle Ableitungen (insbesondere in $(0,0)$). Nach der Formulierung der ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Riemann Dgln. sollte sich zeigen lassen, dass (mindestens) eine partielle Ableitung unstetig in $(0,0)$ ist.
Aber:
Hapert es vll. schon bei der Berechnung der partiellen Ableitung? Oder kannst Du uns Dein Ergebnis (+Rechnung) mitteilen?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 So 22.06.2008 | | Autor: | Stefan235 |
Also:
[mm] \partial_{u}f(z) [/mm] = [mm] \bruch{u^6-15u^4v^2-45u^2v^4+5v^6}{(u^2+v^2)^3} [/mm] + [mm] \bruch{8iuv^3(5u^2 - 3v^2)}{(u^2 + v^2)^3}
[/mm]
[mm] \partial_{v}f(z) [/mm] = [mm] \bruch{- 8u^3v(3u^2 - 5v^2)}{(u^2 + v^2)^3} [/mm] + [mm] \bruch{i(5u^6 - 45u^4v^2 + 15u^2v^4 + v^6)}{(u^2 + v^2)^3}
[/mm]
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