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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
| Aufgabe | f(x) = x-1 - [mm] \bruch{3}{x+1}
[/mm]
a) Extrema
b)Monotonieverhalten für f(x)
c) Tangente an f(x) im Punkt (-2/0); tangentengleichung
und die Normalengleichung |
Hi
Also wiedermal eine Komplexaufgabe.
Also um die Extrema zu berechenen muss ich ja
die erste und zweite Ableitung bilden.
Jedoch habe ich da einen Bruch drin und weis nicht
ob ich da mit der Quotientenregel rangehe oder nicht.
Ich versuche es mal
f'(x)= [mm] \bruch{u'v-uv'}{v^2}
[/mm]
u=3
u'=0
v=x+1
v'=1
=> [mm] \bruch{(0*(x+1))-(3*1)}{(x+1)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch {3}{(x+1)^2}
[/mm]
=> das andere dazu => 1 - [mm] \bruch {3}{(x+1)^2}
[/mm]
oder wie muss ich das tun?
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> f(x) = x-1 - [mm]\bruch{3}{x+1}[/mm]
> a) Extrema
> b)Monotonieverhalten für f(x)
> c) Tangente an f(x) im Punkt (-2/0); tangentengleichung
> und die Normalengleichung
> Hi
> Also wiedermal eine Komplexaufgabe.
Hallo,
da freuen wir uns sehr.
> Also um die Extrema zu berechenen muss ich ja
> die erste und zweite Ableitung bilden.
Ja.
> Jedoch habe ich da einen Bruch drin und weis nicht
> ob ich da mit der Quotientenregel rangehe oder nicht.
Doch, die Quotientenregel ist hier goldrichtig.
>
> Ich versuche es mal
> f'(x)= [mm]\bruch{u'v-uv'}{v^2}[/mm]
> u=3
> u'=0
> v=x+1
> v'=1
> => [mm]\bruch{(0*(x+1))-(3*1)}{(x+1)^2}[/mm]
> = [mm] \red{-}[/mm] [mm]\bruch {3}{(x+1)^2}[/mm]
>
> => das andere dazu => 1 - [mm]\bruch {\red{-}3}{(x+1)^2}[/mm]
>
> oder wie muss ich das tun?
Du kannst es auch noch anders machen, indem Du schreibst: [mm] \bruch{3}{x+1}= 3*(x+1)^{-1}. [/mm] Dann ableiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
ok
also ist das Ergebnis: f'(x)= 1 - $ [mm] \bruch {\red{-}3}{(x+1)^2} [/mm] $
schonmal richtig.
Würde auch so gehen wie du gesagt hast mit:
f'(x)= x - 1 - [mm] 3\cdot{}(x+1)^{-1}
[/mm]
f'(x)= 1 - [mm] 3\cdot{}(x+1)^{-2}
[/mm]
dann würde das doch umgeschrieben wieder: 1 - [mm] \bruch{3}{(x+1^2)}
[/mm]
ergeben. Wie kommt man über den bruch auf -3 ?
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Hallo, du hast doch im Zähler stehen
0-3=-3
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
ja aber nicht nach der zweiten rechenmethode mit 3 * (x+1)^-2
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Hallo, beachte den Summanden in der Aufgabe, dort steht
[mm] -3*(x+1)^{-1} [/mm] die Ableitung dieses Summanden lautet
[mm] (-3)*(-1)*(x+1)^{-2}
[/mm]
[mm] 3*(x+1)^{-2}
[/mm]
wenn du u=-3 im Ansatz der Quotientenregel wählst, kommst du eventuell besser klar,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
Ok alles klar. Jetzt mal zur Zweiten Ableitung:
f'(x) = 1 + [mm] \bruch{3}{(x+1)^2}
[/mm]
f''(x)= 3(x+1)^-2
f''(x)= -6 (x+1)^-3
f''(x) = [mm] -\bruch{6}{(x+1)^3}
[/mm]
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Hallo TeamBob!
Das Ergebnis für die 2. Ableitung ist okay! Allerdings solltest Du das nicht so schluderig aufschreiben.
> f'(x) = 1 + [mm]\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm]
> f''(x)= 3(x+1)^-2
Das muss heißen: $f'(x) \ = \ [mm] 1+3*(x+1)^{-2}$
[/mm]
> f''(x)= -6 (x+1)^-3
> f''(x) = [mm]-\bruch{6}{(x+1)^3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
Zusammenfassend:
f(x)=x-1 - [mm] \bruch{3}{x+1}
[/mm]
f'(x) = 1 + [mm] \bruch{3}{(x+1)^2}
[/mm]
f''(x)=f''(x) = [mm] -\bruch{6}{(x+1)^3} [/mm]
danke dann kommen wir mal zu dem Extrema.
f'(x) = 1 + [mm] \bruch{3}{(x+1)^2}
[/mm]
0=3
=> es gibt kein Extrema, weil keine variable vorhanden ist.
stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 09.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zusammenfassend:
> f(x)=x-1 - [mm]\bruch{3}{x+1}[/mm]
> f'(x) = 1 + [mm]\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm]
> f''(x)=f''(x) = [mm]-\bruch{6}{(x+1)^3}[/mm]
>
>
> danke dann kommen wir mal zu dem Extrema.
>
> f'(x) = 1 + [mm]\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm]
> 0=3
> => es gibt kein Extrema, weil keine variable vorhanden
> ist.
> stimmt?
Nein, du hast das x im Nenner.
[mm] 1+\bruch{3}{(x+1)^2}=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{(x+1)^2}=-1
[/mm]
[mm] \gdw 3=\red{-}(x-1)^{2}
[/mm]
EDIT: Es gibt also keine Lösung
Danke, glie
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
nein das stimmt nicht ganz.
Also wenn man die Nulsltelle berechenne will reicht es wenn man den
Zähler = 0 setzt und nicht alles. Sonst würde ja in der Aufgabe nicht stehen: weise nach der es keine Extrema gibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 09.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
> nein das stimmt nicht ganz.
Doch.
> Also wenn man die Nulsltelle berechenne will reicht es
> wenn man den
> Zähler = 0 setzt und nicht alles.
Das Prinzip geht hier aber nicht. Hier musst du mit einem Anderen Weg Zeigen, dass f'(x)=0 keine Lösung hat.
Sonst würde ja in der
> Aufgabe nicht stehen: weise nach der es keine Extrema
> gibt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
na siehst du in der Verbesserung steht auch das es kein Extrema gibt wie ich
gesagt habe.
Naja aber wie genau kommt ihr darauf, da konnt ich nicht ganz Folgen.
f'(x)=1 + [mm] \bruch{3}{(x+1)^2} [/mm] /-1
-1 [mm] =\bruch{3}{(x+1)^2} [/mm] /*3
-3= [mm] (x+1)^2
[/mm]
=> kein Extrema
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Hallo, es gibt keine Extremstelle, korrekt, weil diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung hat, Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 09.03.2009 | | Autor: | glie |
> na siehst du in der Verbesserung steht auch das es kein
> Extrema gibt wie ich
> gesagt habe.
> Naja aber wie genau kommt ihr darauf, da konnt ich nicht
> ganz Folgen.
>
> f'(x)=1 + [mm]\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm] /-1
> -1 [mm]=\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm] /*3
> -3= [mm](x+1)^2[/mm]
> => kein Extrema
>
Ergebnis richtig, aber Rechnung ist falsch!
[mm] -1=\bruch{3}{(x+1)^2} [/mm] | [mm] *(x+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw -(x+1)^2=3 [/mm] |:(-1)
[mm] \gdw (x+1)^2=-3
[/mm]
Und das hat in [mm] \IR [/mm] keine Lösung!
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
ok danke.
Wie genau gehe ich den bei der Monotonie vor, weil da weis ich gar keinen ansatz, sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Mo 09.03.2009 | | Autor: | glie |
> ok danke.
> Wie genau gehe ich den bei der Monotonie vor, weil da weis
> ich gar keinen ansatz, sorry
Also Auskunft über die Monotoniebereiche einer Funktion gibt die erste Ableitung (=Tangentensteigungsfunktion).
Dort wo f'(x) positiv ist hat der Graph der Funktion positive Tangentensteigungen, ist also dort streng monoton steigend, dort wo f'(x) negativ ist, ist der Graph der Funktion streng monoton fallend..
Jetzt untersuche doch f'(x) mal auf Vorzeichen.
Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
hi
f'(x)= 1 + [mm] \bruch{3}{(x+1)^2}
[/mm]
Also dadurch der graph kann ja nur positiv sein dadruch das der bruch immer positiv ist da oben steht 3 unten durch das ^2 immer positv rauskommt und dann noch +1 gerechnet wird. Also ist der strent monoton steigend.
Wie genau schreibe ich das denn auf?
danke
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:25 Mo 09.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hi
> f'(x)= 1 + [mm]\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm]
> Also dadurch der graph kann ja nur positiv sein dadruch
> das der bruch immer positiv ist da oben steht 3 unten durch
> das ^2 immer positv rauskommt und dann noch +1 gerechnet
> wird. Also ist der strent monoton steigend.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Wie genau schreibe ich das denn auf?
Genauso.
Eine Alternativbegründung wäre:
Da du aber schon gezeigt hast, dass es keine Extrema geben kann, kann die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel haben. Jetzt nimm die irgendeinen Wert für x her, und zeige, dass f'(x)>0 ist. Mit dem fehlenden Vorzeichenwechsel reicht das dann, um zu zeigen, dass f'(x)>0 für alle [mm] x\in\IR [/mm] also ist f(x) dann streng monoton steigend.
> danke
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
ok
Nun noch zur Tangentengleichung und Normalengleich in Punkt (-2;0)
So also die Tangentgleichung ist ja
y = [mm] f'(x_0) [/mm] · (x- [mm] x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = -2
=> f'_0=f'(-2)=4
=> y= (-4)*(x-(-4)) + 0
y=-4x -16 /:(-4)
y= x + 4
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mo 09.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ok
> Nun noch zur Tangentengleichung und Normalengleich in
> Punkt (-2;0)
> So also die Tangentgleichung ist ja
> y = [mm]f'(x_0)[/mm] · (x- [mm]x_0)[/mm] + [mm]f(x_0)[/mm]
> [mm]x_0[/mm] = -2
> => f'_0=f'(-2)=4
> => y= (-4)*(x-(-4)) + 0
> y=-4x -16 /:(-4)
Da bist du fertig, wenn du durch 4 teilst, müsstest du beide Seiten vierteln, also stünde da
[mm] \bruch{1}{4}y=x+4
[/mm]
> y= x + 4
> Stimmt das?
Bis auf die letzte Umformung, ja
Bei der Normalen gilt: [mm] m_{Normale}*m_{Tangente}=-1, [/mm] dann hast du den Punkt P und die Steigung gegeben, und kannst damit dann die Normale bestimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
das verstehe ich irgendwie nicht ganz.
Wie genau ist den jetzt die ausgangsrechnung dafür
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Mo 09.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast eine Gerade der Form y=mx+n
M hast du gegeben und einen Punkt mit x und y Koordinate ja auch. Daraus kannst du das n bestimmen, und hast somit m und n der Gerade, so dass du diese danach aufstellen kannst.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
habe ich bei der Tangentengleichung nicht ein Fehler
> ok
> Nun noch zur Tangentengleichung und Normalengleich in
> Punkt (-2;0)
> So also die Tangentgleichung ist ja
> y = $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ · (x- $ [mm] x_0) [/mm] $ + $ [mm] f(x_0) [/mm] $
> $ [mm] x_0 [/mm] $ = -2
> => f'_0=f'(-2)=4
> => y= (-4)*(x-(-4)) + 0
> y=-4x -16 /:(-4)
Statt (x-(-4)) müsste doch (x-(-2)) heißen weil doch P(-2/0) ist
und dann kommt raus
y=4x+8
Normalengleichung müsste dann heißen
y=mx+n
0=m(-2) + n
Woher bekomme ich den m?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Lies dir die posts nochmal in Ruhe durch. marius (rex) hat dir in nem frueheren post gesagt, wie man auf die Steigung der Normalen kommt.
2. noch zur Monotonie. bei x=-1 liegt ne Polstelle vor, da springt die fkt, ist also nicht monoton!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
und was schreib ich da bezüglich der Monotonie?
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> und was schreib ich da bezüglich der Monotonie?
Hallo,
Du kannst schreiben, daß die Funktion bei x=-1 eine Polstelle hat, und daß sowohl links als auch rechts davon monoton wachsend ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
Was ist jetzt bezüglich meiner frage hier
habe ich bei der Tangentengleichung nicht ein Fehler
> ok
> Nun noch zur Tangentengleichung und Normalengleich in
> Punkt (-2;0)
> So also die Tangentgleichung ist ja
> y = $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ · (x- $ [mm] x_0) [/mm] $ + $ [mm] f(x_0) [/mm] $
> $ [mm] x_0 [/mm] $ = -2
> => f'_0=f'(-2)=4
> => y= (-4)*(x-(-4)) + 0
> y=-4x -16 /:(-4)
Statt (x-(-4)) müsste doch (x-(-2)) heißen weil doch P(-2/0) ist
und dann kommt raus
y=4x+8
Normalengleichung müsste dann heißen
y=mx+n
m= [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] weil oben bei y ja m= 4 ist und von der normalen ist es ja [mm] -\bruch{1}{m_t}
[/mm]
=> [mm] 0=-\bruch{1}{4}(-2) [/mm] n
[mm] =>-\bruch{1}{2}= [/mm] n
[mm] =>Y_n=-\bruch{1}{4}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 09.03.2009 | | Autor: | TeamBob |
Also hatte ich mich ein paar post davor doch bei der Tangentegleichung verrechnet oder, weil keiner gesagt hat das was falsch ist?
> Was ist jetzt bezüglich meiner frage hier
> habe ich bei der Tangentengleichung nicht ein Fehler
> > ok
> > Nun noch zur Tangentengleichung und Normalengleich in
> > Punkt (-2;0)
> > So also die Tangentgleichung ist ja
> > y = $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ · (x- $ [mm] x_0) [/mm] $ + $ [mm] f(x_0) [/mm] $
> > $ [mm] x_0 [/mm] $ = -2
> > => f'_0=f'(-2)=4
>
> > => y= (-4)*(x-(-4)) + 0
>
> > y=-4x -16 /:(-4)
>
> Statt (x-(-4)) müsste doch (x-(-2)) heißen weil doch
> P(-2/0) ist
> und dann kommt raus
> y=4x+8
was stimmt nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mo 09.03.2009 | | Autor: | glie |
> Also hatte ich mich ein paar post davor doch bei der
> Tangentegleichung verrechnet oder, weil keiner gesagt hat
> das was falsch ist?
> > Was ist jetzt bezüglich meiner frage hier
> > habe ich bei der Tangentengleichung nicht ein Fehler
> > > ok
>
> > > Nun noch zur Tangentengleichung und Normalengleich in
> > > Punkt (-2;0)
>
> > > So also die Tangentgleichung ist ja
> > > y = [mm]f'(x_0)[/mm] · (x- [mm]x_0)[/mm] + [mm]f(x_0)[/mm]
> > > [mm]x_0[/mm] = -2
> > > => f'_0=f'(-2)=4
>
> >
> > > => y= (-4)*(x-(-4)) + 0
>
> >
> > > y=-4x -16 /:(-4)
>
> >
> > Statt (x-(-4)) müsste doch (x-(-2)) heißen weil doch
> > P(-2/0) ist
> > und dann kommt raus
> > y=4x+8
Das hier stimmt es muss x-(-2) heissen
>
> was stimmt nun?
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:37 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Vuffi-Raa |
> Eine Alternativbegründung wäre:
> Da du aber schon gezeigt hast, dass es keine Extrema geben
> kann, kann die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel haben.
> Jetzt nimm die irgendeinen Wert für x her, und zeige, dass
> f'(x)>0 ist. Mit dem fehlenden Vorzeichenwechsel reicht das
> dann, um zu zeigen, dass f'(x)>0 für alle [mm]x\in\IR[/mm] also ist
> f(x) dann streng monoton steigend.
Da könnte dir die Polstelle aber böse auf die Füße fallen...
(Auch wenn es für diese Funktion hinhaut.)
> Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:48 Mo 09.03.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo
>
> > Zusammenfassend:
> > f(x)=x-1 - [mm]\bruch{3}{x+1}[/mm]
> > f'(x) = 1 + [mm]\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm]
> > f''(x)=f''(x) = [mm]-\bruch{6}{(x+1)^3}[/mm]
> >
> >
> > danke dann kommen wir mal zu dem Extrema.
> >
> > f'(x) = 1 + [mm]\bruch{3}{(x+1)^2}[/mm]
> > 0=3
> > => es gibt kein Extrema, weil keine variable vorhanden
> > ist.
> > stimmt?
>
> Nein, du hast das x im Nenner.
>
> [mm]1+\bruch{3}{(x+1)^2}=0[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{3}{(x+1)^2}=-1[/mm]
Die nächste Zeile stimmt nicht
> [mm]\gdw 3=(x-1)^{2}[/mm]
Das muss [mm] \gdw 3=-(x+1)^2 [/mm] heissen
und dann [mm] \gdw -3=(x+1)^2
[/mm]
und das hat keine Lösung
Gruß Glie
> [mm]\gdw x=\ldots[/mm]
>
> Marius
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> danke dann kommen wir mal zu dem Extrema.
Hallo,
sag' sowas bitte nicht. Richtig heißt das:
ein Extremum
viele Extrema.
Eselsbrücke: man hat nur eine Mum.
(Minimum/Minima, Maximum/Maxima entsprechend)
Wenn Du's Dir nicht merken kannst, sag halt:
Extremwert/Extremstelle.
Gruß v. Angela
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