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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 So 20.01.2008 | | Autor: | uli3 |
| Aufgabe | Suche Lösungsweg zu
[mm] \frac{(1 - e^{- j \omega T})^m }{j \omega} [/mm] = ... = [mm] \left( 2 \cdot \sin \left( \frac{ j \omega T }{2} \right) \right)^{m-1} [/mm] (Problem 1)
und:
(1 - [mm] e^{- j \omega T})^m [/mm] = ... (Problem 2) |
Hallo zusammen!
Wie erwünscht bestätige ich: "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
Das Problem ist eigentlich sehr schnell beschrieben. Ich beschäftige mich gerade mit der Laplace-Transformierten eines bestimmten Rauschprozesses, welches ich in meinem LTI System mitmodellieren möchte. Im Grunde ist es unwesentlich um was es genau geht. Ich hab es bereits auf den Kern reduziert.
Die Lösung zu Problem (1) finde ich in sämtlicher Literatur zitiert (zB V.F.Kroupa "Phase Locke Loops"). Nur finde ich nirgendswo vernünftige Zwischenschritte die mir den Übergang verständlich und nachvollziehbar machen. Ich möchte es aber verstehen, weil ich nämlich selber zuerst die Lösung zu Problem (2) herleiten möchte um dann in einem weiteren Schritt erst zu Problem (1) übergehen möchte.
Hab mit Hilfe von Formelsammlungen schon sämtliche trigonometrischen Zusammenhänge speziell im Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion versucht einzusetzen, aber irgendwie fehlt mir hier glaub ich noch eine entscheidende Idee.
Da auch keine weiteren Bedingungen zitiert werden geh ich auch nicht davon aus, dass es via Reihenentwicklung gelöst wurde.
Bin eigentlich schon fast am Verzweifeln, weswegen ich mich auch an euch wenden möchte. Befürchte nur, dass die Lösung zu einfach ist ...
Wenn mir jemand hier ein paar entscheidenen Hinweise geben kann, wäre ich sehr dankbar.
Gruß, uli
PS: die paar trigonometrische zusammenhänge die mir wichtig erschienen
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Zusammenhang_mit_der_komplexen_Exponentialfunktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Halbwinkelformeln
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Potenzen_der_Winkelfunktionen
(hab keine besseren zitate gefunden, da Bronstein auch nicht online. Alle Formeln will ich auch nicht aufzählen)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 So 20.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist zu spät, um das durchzuziehen, aber ich würd einfach [mm] e^{-jwT/2} [/mm] ausklammern, dann steht da schon mal sin.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mo 21.01.2008 | | Autor: | uli3 |
| Aufgabe | Problem (1):
... muss ich umdefinieren
(Problem 2)
... gelöst
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Hallo Leduart,
vielen Dank für deine so späte und dennoch prompte Antwort. Die Idee war wirklich gut und hat mir ungemein geholfen.
Das Problem (2) löst sich demnach zu
(1 - [mm] e^{- j \omega T})^m [/mm] = [mm] \left( e^{-j\omega T/2} \cdot 2 \cdot j \cdot sin \left( \frac{\omega T}{2} \right) \right)^m
[/mm]
eine weitere Vereinfachung scheints wohl nicht mehr zu geben ...
Weitere Recherche brachte mir dann auch noch den entscheidenden Hinweis, dass vor der Berechnung der Rauschleistung natürlich noch eine Betragsquadratbildung folgt, womit der Term '(j [mm] \cdot e^{-j\omega T/2} [/mm] ) verschwindet.
Bei Problem (1) muss ich auch weiter ausholen hab ich festgestellt. Ich werde eine neue Frage posten und auf diese Diskussion referenzieren - auch wenn es nicht weiterhelfen wird.
Vielen Dank nochmals,
Gruß, uli
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