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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mi 30.04.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Sei X eine Menge, versehen mit der diskreten Metrik.
a) Charakteresieren Sie die Menge aller stetigen Funktionen auf X.
b) Ziegen Sie: Eine Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] X ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist. |
hi,
zu a) hab ich mal echt kein plan was ich da machen soll :( da bräuchte ich erst einmal einen ansatz.
zu b)
ich würd gern kompaktheit mit der offenen Überdeckung zeigen, da jede offene Überdeckung von k eine endliche teilüberdeckung besitzt.
ich hab mir überlegt das ich mit einem widerspruch herangehe mit der annahme, dass M unendlich ist.
aber irgendwie weiß ich nicht weiter und ich hab auch keine ahnung ob dieser ansatz überhaupt richtig ist.
wär schön wenn mir einer helfen könnte
lg
sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 30.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie sehen denn die offenen Mengen von X aus ? )Du hast doch die diskrete Metrik !)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 30.04.2008 | | Autor: | skydyke |
ersteinmal, vielen dank für den tipp
also die diskrete Metrik sieht so aus:
d(x,y)= 0, falls x=y
1, falls x [mm] \not= [/mm] y
ich weiß nur wie die offenen Kugeln aussehen:
[mm] B_r(x) [/mm] mit r > 1 [mm] \Rightarrow B_r(x) [/mm] = X
[mm] B_r(x) [/mm] mit r [mm] \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow B_r(x) [/mm] = {x}
wie soll ich das denn auf die allgemeine menge beziehen?
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 30.04.2008 | | Autor: | fred97 |
wann heißt denn eine Menge in einem metr. Raum offen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 30.04.2008 | | Autor: | skydyke |
eine offene menge ist im metrischen raum die menge ohne Rand (R) , also hätt ich dann meine menge X \ RX, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabrina,
> eine offene menge ist im metrischen raum die menge ohne
> Rand (R) , also hätt ich dann meine menge X \ RX, oder?
das ist das Innere einer Menge. Und eine Menge ist genau dann offen, wenn sie ihr eigenes Inneres ist. Das ist okay.
Aber:
Eine Menge [mm] $\black{O} \subset [/mm] X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ ist genau dann offen, wenn gilt:
Für jedes $o [mm] \in \black{O}$ [/mm] existiert ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(o) [/mm] > 0$, so dass für [mm] $U_\varepsilon(o):=\{y \in X: d(o,y) < \varepsilon\}$ [/mm] gilt: [mm] $U_\varepsilon(o) \subset \black{O}$.
[/mm]
Wenn Du Dir das klarmachst:
Ist $d$ die diskrete Metrik auf $X$, so beachte:
Ist $U [mm] \subset [/mm] X$ irgendeine Teilmenge von $X$ und nehme ich irgendein $u [mm] \in [/mm] U$ her und lege um dieses $u$ dann eine [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$-Umgebung $U_\varepsilon(u)$:
[/mm]
1.) Was ist [mm] $U_\varepsilon(u)$?
[/mm]
2.) Was bedeutet das für eine jede beliebige Teilmenge $U [mm] \subset [/mm] X$?
Und was das mit Aufgabe a) zu tun hat:
Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind.
Zu Aufgabe b)
Hier würde ich nicht mit offener Überdeckung arbeiten (wenngleich das natürlich auch geht). Sondern:
Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie folgenkompakt ist, d.h., dass eine jede Folge in der Menge eine Teilfolge hat, die in der Menge konvergiert.
Und wenn Du nun eine endliche Menge $A [mm] \subset [/mm] X$ hast:
Wenn Du eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in $A$ hernimmst:
Warum hat diese auf jeden Fall eine konvergente Teilfolge?
(Tipp: Es muss hier ein Element $a [mm] \in [/mm] A$ geben, so dass es unendlich viele Indizes $j$ mit [mm] $a_j=a$ [/mm] gibt. Warum?
Mache Dir das ggf. mal an einem Beispiel klar:
[mm] $A=\{r,s,t,u,v\}$ [/mm] sei 5-elementig. Schreibe Dir mal eine Abbildung [mm] $\IN \to [/mm] A$ hin...)
Und wenn Du nun $A [mm] \subset [/mm] X$ mit unendlich vielen Elementen hast:
Dann kannst eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in $A$ so angeben, dass für $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \not=m$ [/mm] stets [mm] $a_n \not= a_m$. [/mm] Diese Folge kann keine in $A$ konvergente Teilfolge haben, weil...?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Fr 02.05.2008 | | Autor: | skydyke |
Hi marcel, vielen dank für die ausführliche erklärung, ich glaub ich hab ein bisschen verstanden :)
also für meine [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 Umgebung:
man hat dann:
[mm] U_1_/_2(u)={u}, [/mm] das heißt nur das element u ist in dieser umgebung enthalten.
Für jede belibige Teilmenge U [mm] \subseteq [/mm] X bei einer [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 - Umgebung gilt das immer nur ein element der teilmenge in der umgebung enthalten ist.
so hab ich das verstanden, ist das denn auch richtig?
a) da hab ich verstanden das das Urbild der diskreten Metrik offen sein muss, aber wie sieht denn von
d(x,y)=0,falls x=y
1,falls [mm] x\not=y
[/mm]
das Urbild aus? wie soll ich das denn hinbekommen???
zu b)
> Und wenn Du nun eine endliche Menge [mm]A \subset X[/mm] hast:
> Wenn Du eine Folge [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]A[/mm] hernimmst:
> Warum hat diese auf jeden Fall eine konvergente Teilfolge?
> (Tipp: Es muss hier ein Element [mm]a \in A[/mm] geben, so dass es
> unendlich viele Indizes [mm]j[/mm] mit [mm]a_j=a[/mm] gibt. Warum?
müssen das nicht eigentlich endlisch viele Indizes sein? denn so hab ich den satz aus der vorlesung verstanden der besagt dass, eine konvergente Folge in A auch komponentenweise konvergent ist und das sieht dann so aus:
lim [mm] a_n [/mm] = x = [mm] (x_1,...,x_n) \gdw [/mm] lim [mm] a_n_j [/mm] = [mm] x_j [/mm] für alle j=1,...,n
und deswegen ist das dann eine konvergente teilfolge,oder???
> Und wenn Du nun [mm]A \subset X[/mm] mit unendlich vielen Elementen
> hast:
> Dann kannst eine Folge [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]A[/mm] so angeben, dass für
> [mm]n,m \in \IN[/mm] mit [mm]n \not=m[/mm] stets [mm]a_n \not= a_m[/mm]. Diese Folge
> kann keine in [mm]A[/mm] konvergente Teilfolge haben, weil...?
da würd ich sagen, dass man das dann nicht mehr so wie oben anwenden kann, das mit der komponenten konvergenz für folgen, weil ich hab ja unednlich viele elemente. wäre diese begründung richtig?
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi marcel, vielen dank für die ausführliche erklärung, ich
> glaub ich hab ein bisschen verstanden :)
>
> also für meine [mm]\varepsilon[/mm] = 1/2 Umgebung:
> man hat dann:
> [mm]U_1_/_2(u)={u},[/mm]
genau, setze aber bitte Backslash vor Mengenklammern, sonst tauchen die nicht auf:
[mm] $U_{\frac{1}{2}}(u)=\{u\}$
[/mm]
Hier ist also eine jede Teilmenge $U [mm] \subset [/mm] X$ offen.
> das heißt nur das element u ist in dieser
> umgebung enthalten.
> Für jede belibige Teilmenge U [mm]\subseteq[/mm] X bei einer
> [mm]\varepsilon[/mm] = 1/2 - Umgebung gilt das immer nur ein element
> der teilmenge in der umgebung enthalten ist.
> so hab ich das verstanden, ist das denn auch richtig?
Ja, was aber wichtiger ist:
$u [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow U_{\frac{1}{2}}(u) \subset [/mm] U$, da mit $u [mm] \in [/mm] U$ natürlich stets [mm] $\{u\} \subset [/mm] U$ gilt und hier [mm] $\{u\}= U_{\frac{1}{2}}(u)$ [/mm] erkannt wurde.
Das bedeutet:
Jede Teilmenge $U [mm] \subset [/mm] X$ ist - bzgl. der diskreten Metrik - offen (die leere Menge ist ja auch immer offen).
> a) da hab ich verstanden das das Urbild der diskreten
> Metrik offen sein muss, aber wie sieht denn von
> d(x,y)=0,falls x=y
> 1,falls [mm]x\not=y[/mm]
> das Urbild aus? wie soll ich das denn hinbekommen???
Was soll das denn heißen, dass das Urbild der diskreten Metrik offen sein soll? Das verstehe ich nicht. Mach' Dir vielleicht mal klar, was eine Funktion auf $X$ eigentlich ist und dann denke nochmal drüber nach, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sein sollen. Und da hier jede Teilmenge von $X$ offen ist...
> zu b)
>
> > Und wenn Du nun eine endliche Menge [mm]A \subset X[/mm] hast:
> > Wenn Du eine Folge [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]A[/mm] hernimmst:
> > Warum hat diese auf jeden Fall eine konvergente
> Teilfolge?
> > (Tipp: Es muss hier ein Element [mm]a \in A[/mm] geben, so dass es
> > unendlich viele Indizes [mm]j[/mm] mit [mm]a_j=a[/mm] gibt. Warum?
>
> müssen das nicht eigentlich endlisch viele Indizes sein?
> denn so hab ich den satz aus der vorlesung verstanden der
> besagt dass, eine konvergente Folge in A auch
> komponentenweise konvergent ist und das sieht dann so aus:
> lim [mm]a_n[/mm] = x = [mm](x_1,...,x_n) \gdw[/mm] lim [mm]a_n_j[/mm] = [mm]x_j[/mm] für alle
> j=1,...,n
> und deswegen ist das dann eine konvergente
> teilfolge,oder???
Sorry, aber hier wirfst Du wirklich Dinge durcheinander. Wir haben hier ja gar keine Komponentenfolgen. Wir haben einen Raum $(X,d)$ ausgestattet mit der diskreten Metrik. Jetzt nehme ich eine endliche Teilmenge von $X$ her, nenne diese $A$, also $A [mm] \subset [/mm] X$ endlich.
Wenn jetzt meinetwegen [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in $A$ ist, dann heißt das:
$a: [mm] \IN \to [/mm] A$ mit [mm] $a_n:=a(n)$.
[/mm]
Beispiel:
Wir nehmen mal an: $A$ habe $3$ Elemente:
[mm] $A=\{r,s,t\}$ [/mm] mit $r,s,t$ paarweise verschieden.
Jetzt konstruieren wir uns mal Folgen in $A$, d.h. [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] könnte (anfangs) so aussehen:
[mm] $a_1=r$, $a_2=r$, $a_3=s$, $a_4=r$, $a_5=t$, [/mm] ...
oder auch so:
[mm] $a_1=r$, $a_2=r$, $a_3=r$, $a_4=s$, $a_5=s$, [/mm] ...
oder auch so:
[mm] $a_1=r$, $a_2=s$, $a_3=t$, $a_4=t$, $a_5=s$, [/mm] ...
Erkennst Du, worauf ich hinaus will? Beachte auch mal, dass wir in der diskreten Metrik sind. Und jetzt versuche mal, den Beweis zu führen, dass solche endliche Mengen $A$ (folgen)kompakt sind...
> > Und wenn Du nun [mm]A \subset X[/mm] mit unendlich vielen Elementen
> > hast:
> > Dann kannst eine Folge [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]A[/mm] so angeben, dass
> für
> > [mm]n,m \in \IN[/mm] mit [mm]n \not=m[/mm] stets [mm]a_n \not= a_m[/mm]. Diese Folge
> > kann keine in [mm]A[/mm] konvergente Teilfolge haben, weil...?
>
> da würd ich sagen, dass man das dann nicht mehr so wie oben
> anwenden kann, das mit der komponenten konvergenz für
> folgen, weil ich hab ja unednlich viele elemente. wäre
> diese begründung richtig?
Nein, das hat ja gar nichts mit komponentenweiser Konvergenz hier zu tun. Ist $A [mm] \subset [/mm] X$ so, dass $A$ unendlich viele Elemente hat, dann gibt es insbesondere eine Injektion [mm] $\IN \to [/mm] A$. Wir nehmen eine solche Injektion $a: [mm] \IN \to [/mm] A$ her und betrachten die zu $a$ gehörige Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}:\equiv (a(n))_{n \in \IN}$:
[/mm]
Weil $a: [mm] \IN \to [/mm] A$ injektiv ist, gilt [mm] $a_n \not=a_m$ [/mm] für alle $n [mm] \not=m$. [/mm] Ist [mm] $(a_{n_j})_{j \in \IN}\equiv:(b_j)_{j \in \IN}$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] so ist auch die zu [mm] $(b_j)_{j \in \IN}$ [/mm] gehörige Abbildung [mm] $b:\IN \to [/mm] A$ injektiv.
Es reicht also, zu zeigen: Eine "injektive" Folge in $A$ - d.h. eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in $A$ mit [mm] $a_n \not=a_m$ [/mm] für $n [mm] \not=m$ [/mm] - kann nicht (in $A$) konvergieren.
(Man kann auch hier generell zeigen, dass injektive Folgen in $X$ gar nicht konvergent sein können, das folgt direkt mit den untenstehenden Argumenten vollkommen analog.)
Sei also [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine injektive Folge in $A$. Angenommen, sie konvergiere doch gegen ein $a [mm] \in [/mm] A$. Dann gibt es zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2} [/mm] > 0$ ein $N$, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$:
[mm] $d(a_n,a) \le \varepsilon$. [/mm] Da $d$ die diskrete Metrik ist, folgt dann aber:
[mm] $d(a_n,a)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$. Dann folgt aber [mm] $a_n=a$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$, was der Tatsache widerspricht, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine injektive Folge war.
(Insbesondere wäre ja auch [mm] $a_N=a_{N+1}$, [/mm] obwohl $N [mm] \not=N+1$.)
[/mm]
Also, nochmal die Argumentation, warum unendliche Mengen nicht kompakt sein können:
Ist $A [mm] \subset [/mm] X$ unendlich, so gibt es insbesondere (mindestens) eine injektive Folge in $A$. Injektive Folgen können in $A$ nicht konvergieren, wie wir oben gesehen haben. Eine jede Teilfolge einer injektiven Folge ist aber wieder eine injektive Folge, kann also auch nicht in $A$ konvergent sein, woraus dann folgt, dass $A$ - wenn $A [mm] \subset [/mm] X$ unendlich viele Elemente hat - eine Folge ohne konvergente Teilfolge enthält (man wähle einfach irgendeine injektive Folge in $A$, die tut's).
P.S.:
Wenn Dir das Teilfolgenargument bei einer endlichen Menge $A$ nicht gefällt:
Endliche Mengen sind stets kompakt (das gilt sogar in topologischen Räumen). Sei nämlich $A [mm] \subset [/mm] X$ endlich und seien [mm] $F_i$ [/mm] offen mit $A [mm] \subset \bigcup_{i \in I}F_i$ [/mm] mit irgendeiner Indexmenge $I$. Sei $|A|=n$, d.h. $A$ habe $n$ Elemente, wir bezeichnen diese mit [mm] $a_1,...,a_n$.
[/mm]
Weil [mm] $\{a_1,...,a_n\} \subset \bigcup_{i \in I}F_i$, [/mm] gibt es $i(1),...,i(n) [mm] \in [/mm] I$ mit [mm] $a_k \in F_{i(k)}$ [/mm] bzw [mm] $\{a_k\} \subset F_{i(k)}$ [/mm] für $k=1,...,n$. Dann ist aber [mm] $A=\{a_1,...,a_n\}=\bigcup_{k=1}^n \{a_k\} \subset \bigcup_{k=1}^n F_{i(k)}$, [/mm] d.h. wir haben eine endliche Teilüberdeckung von $A$ gefunden.
Übrigens:
Ist Dir der Beweis eigentlich klar, dass, wenn man die beiden Aussagen:
1.) $A [mm] \subset [/mm] X$ endlich [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A$ kompakt
2.) $A [mm] \subset [/mm] X$ unendlich [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A$ nicht kompakt
gezeigt hat, dass man damit dann gezeigt hat, dass $A [mm] \subset [/mm] X$ genau dann kompakt ist, wenn $A$ endlich ist?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 04.05.2008 | | Autor: | skydyke |
hi marcel,
vielen dank für die hilfe
also zu a)
Funktionen müssen auf einen wert abbilden. da wir in der diskreten metrik sind muss die menge aller stetigen funktionen doch alle funktionen enthalten die auf 1 oder 0 abbilden, oder?
jetzt dazu dass urbilder offener mengen wieder offen sein sollen.
also jede teilmenge von X ist offen, d.h. das urbild muss auch wieder eine teilmenge von X sein, und jede teilmenge von X ist offen, das hab ich ja schono gezeigt. diese folgerung ist doch richtig oder?
was genau kann ich denn jetzt damit anfangen?
zu b)
> Übrigens:
> Ist Dir der Beweis eigentlich klar, dass, wenn man die
> beiden Aussagen:
>
> 1.) [mm]A \subset X[/mm] endlich [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A[/mm] kompakt
> 2.) [mm]A \subset X[/mm] unendlich [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A[/mm] nicht kompakt
>
> gezeigt hat, dass man damit dann gezeigt hat, dass [mm]A \subset X[/mm]
> genau dann kompakt ist, wenn [mm]A[/mm] endlich ist?
>
> Gruß,
> Marcel
wir hatten in der vorlesung einen satz, der besagt wenn es einen grenzwert für die folge gibt, das daraus folgt, dass es dann kompakt ist. das wäre meine erklärung dafür
lg
sabrina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 04.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabrina,
> hi marcel,
> vielen dank für die hilfe
>
> also zu a)
> Funktionen müssen auf einen wert abbilden. da wir in der
> diskreten metrik sind muss die menge aller stetigen
> funktionen doch alle funktionen enthalten die auf 1 oder 0
> abbilden, oder?
> jetzt dazu dass urbilder offener mengen wieder offen sein
> sollen.
> also jede teilmenge von X ist offen, d.h. das urbild muss
> auch wieder eine teilmenge von X sein, und jede teilmenge
> von X ist offen, das hab ich ja schono gezeigt. diese
> folgerung ist doch richtig oder?
> was genau kann ich denn jetzt damit anfangen?
hier verstehe ich - ehrlich gesagt - gar nicht, wie Du darauf kommst. Ich nehme mal an, ihr betrachtet Abbildungen $f : X [mm] \to [/mm] Y$, wobei $(X,d)$ und $(Y,e)$ metrische Räume sind (allgemeiner könnte man auch Abbildungen in einen topologischen Raum betrachten, wenn man dann $(X,d)$ auch mit der durch die Metrik induzierten Topologie auffasst). Und da weißt Du gar nichts über $f(X)$, außer, dass $f(X) [mm] \subset [/mm] Y$ (bei mir: [mm] $\subset$ [/mm] kann auch Gleichheit enthalten).
Und hier ist eine jede solche Abbildung stetig:
Zum Beweis: Zeige, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Hier gilt aber sogar für jede Teilmenge $Z [mm] \subset [/mm] Y$, dass [mm] $f^{-1}(Z) \subset [/mm] X$ offen in $X$ ist, weil...? Insbesondere gilt dann auch:
Ist $Z=O [mm] \subset [/mm] Y$ offen in $Y$, so ist [mm] $f^{-1}(O)$ [/mm] offen in $X$.
Es kann natürlich sein, dass bei Euch mit dem Begriff der Funktion immer eine Abbildung nach [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] gemeint ist, dann wäre bei Dir halt [mm] $(Y,e)=(\IR,d_{|.|})$.
[/mm]
> zu b)
>
> > Übrigens:
> > Ist Dir der Beweis eigentlich klar, dass, wenn man die
> > beiden Aussagen:
> >
> > 1.) [mm]A \subset X[/mm] endlich [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A[/mm] kompakt
> > 2.) [mm]A \subset X[/mm] unendlich [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A[/mm] nicht kompakt
> >
> > gezeigt hat, dass man damit dann gezeigt hat, dass [mm]A \subset X[/mm]
> > genau dann kompakt ist, wenn [mm]A[/mm] endlich ist?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> wir hatten in der vorlesung einen satz, der besagt wenn es
> einen grenzwert für die folge gibt, das daraus folgt, dass
> es dann kompakt ist. das wäre meine erklärung dafür
Das verstehe ich auch nicht ganz:
Im Prinzip (und die beiden Beweise stehen ja da) ist schon gezeigt:
Ist $(X,d)$ metrischer Raum mit $X [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und diskreter Metrik $d$, so gelten:
1.) $ A [mm] \subset [/mm] X $ endlich $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ A kompakt
(den Beweis habe ich mit "Überdeckungskomapkt" geführt)
2.) $ A [mm] \subset [/mm] X $ unendlich $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ A nicht kompakt
(dieser Beweis wurde mit "Folgenkompakt" geführt)
Wenn Du zeigen sollst: $A [mm] \subset [/mm] X$ kompakt genau dann (im Zeichen [mm] $\gdw$), [/mm] wenn $A [mm] \subset [/mm] X$ endlich:
Dann hast Du zwei Sachen zu zeigen:
(i) $A [mm] \subset [/mm] X$ kompakt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \subset [/mm] X$ endlich
(ii) $A [mm] \subset [/mm] X$ endlich [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \subset [/mm] X$ kompakt
Die zu zeigende Aussage (ii) wurde in 1.) bewiesen. Die Aussage (i) ist wegen:
Für $R,S$ Aussagen gilt: $R [mm] \Rightarrow [/mm] S$
[mm] $\gdw (\mbox{nicht }S \Rightarrow \mbox{nicht }R)$
[/mm]
aber äquivalent zu 2.), und der Beweis zu 2.) steht auch oben.
Gruß,
Marcel
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