Kompaktheit, abgeschlo. Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Di 01.06.2010 | | Autor: | Lori7 |
| Aufgabe | Beweisen oder Widelergen sie:
Eine abgeschlossene Menge in einem kompakten metrischen Raum ist kompakt.
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guten abend,
also ich hab gelesen das sie Behauptung wahr ist. Mit dem Beweis komme ich aber leider nicht voran.
Also wir haben folgende Definition von Kompaktheit:
X ist kompakt, falls jede Folge in X eine komvergente Teilfolge besitzt.
So nun ist ja A [mm] \subset [/mm] X abgeschlossen, d.h. jede konvergente Folge in A besitzt einen Grenzwert in A.
Damit müsste ich jetzt irgendwie arbeiten.
Ich weiß noch das kompakte Mengen beschränkt sind. Also ist ja X beschränkt, und das würde sich dann ja auch auf eine Teilmenge A übertragen oder? Kann man das noch irgendwie verwenden?
Hat sonst jemand einen Tipp wie ich da rangehen muss?
Wäre super lieb.
Lieben gruß
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Hiho,
du hast doch eigentlich alles schon hingeschrieben, du musst es nur in die richtige Reihenfolge bringen:
> also ich hab gelesen das sie Behauptung wahr ist
na dann, z.z. die Aussage gilt:
> X ist kompakt, falls jede Folge in X eine komvergente Teilfolge besitzt.
i) Aha, d.h. da wir jetzt zeigen wollen, dass A kompakt ist, müssen wir zeigen, dass......
ii) Nun nehmen wir uns also ........ in A.
iii) Da X kompakt, wissen wir, dass ....... in X (!!)
iv)
> So nun ist ja A $ [mm] \subset [/mm] $ X abgeschlossen, d.h. jede konvergente Folge in A besitzt einen Grenzwert in A.
[mm] \Rightarrow [/mm] ..... in A!
Grobes Schema, ich denke du kommst zurecht 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Di 01.06.2010 | | Autor: | Lori7 |
Danke für die schnelle Antwort.
Also ich seh das irgendwie immer noch nicht so wirklich.
z.z. Jede abgeschlossene Menge einer kompakten Menge ist selbst komapkt.
i) wir wollen jetzt zeigen, dass A kompakt ist,d.h.wir müssen zeigen, dass jede Folge in A eine konvergente Teilfolge besitzt.
ii) Nun nehmen wir uns also eine Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] in A.
iii) Da X kompakt, wissen wir, dass A abgeschlossen ist in X. Das bedeutet: Für jede Folge in A, die in X konvergiert, liegt der Grenzwert schon in A.
iv)
> So nun ist ja A $ [mm] \subset [/mm] $ X abgeschlossen, d.h. jede konvergente Folge in A besitzt einen Grenzwert in A.
[mm] \Rightarrow [/mm] ..... in A!n???
Irgendwie macht es bei mir nicht Klick.
Also irgendwie so:
Wenn eine Folge aus X in A liegt, dann liegen ja auch die Teilfolgen in A und da diese in X konvergieren liegen die Grenzwerte nach iii) in A?
Außerdem ist doch jede Teilmenge in einem kompakten Raum abgeschlossen, dann könnte die Behauptung soch ebenso lauten: Jede Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt. Oder ist das ein Unterschied mit abgeschlossen und abgeshlossen in X.
Wäre super, wenn du mir da noch helfen könntest.
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Na du hast es doch schon.
> Also irgendwie so:
> Wenn eine Folge aus X in A liegt, dann liegen ja auch die
> Teilfolgen in A und da diese in X konvergieren liegen die
> Grenzwerte nach iii) in A?
Jo!
Und sauber sieht das dann so aus:
Wir haben unsere Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN} \subset [/mm] A [mm] \subset [/mm] X$
Nun wissen wir, da X kompakt ist, dass es eine (in X) konvergente Teilfolge [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] gibt. Diese konvergiert also aufgrund der Kompaktheit von X erstmal nur in X, d.h. der Grenzwert liegt erstmal nicht notwendigerweise in A.
Nun kommt die Abgeschlossenheit von A ins Spiel, d.h. wir haben eine konvergente Folge [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit Gliedern aus A, da A abgeschlossen ist, liegt der Grenzwert in A, d.h. [mm] (a_{n_k}) [/mm] konvergiert in A!
D.h. zusammengefasst: Zu jeder Folge [mm] $(a_n) \subset [/mm] A$ gibt es nun eine (in A) konvergente Teilfolge [mm] (a_{n_k}), [/mm] d.h. A ist kompakt.
> Außerdem ist doch jede Teilmenge in einem kompakten Raum
> abgeschlossen
Wie kommst du denn darauf?
Das Intervall $[0,1]$ ist kompakt, aber [mm] $\left(\bruch{1}{3},\bruch{2}{3}\right) \subset [/mm] [0,1]$ ist ganz bestimmt nicht abgeschlossen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Di 01.06.2010 | | Autor: | Lori7 |
Super vielen Dank dafür, habs jetzt verstanden. Auch das du es nochmal mathematisch aufgeschrieben hast war sehr hilfreich.
>> Außerdem ist doch jede Teilmenge in einem kompakten Raum
>> abgeschlossen
> Wie kommst du denn darauf?
Ach ich bin da Durcheinander gekommen, das is natürlich Blödsinn was ich geschrieben hatte :)
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