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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mo 20.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei [mm] K:=\{(x,y,z) \in \IR^{3} | x^{2} + 2y^{4} + 6z^{8} = 1 \}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass K kompakt ist.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion
g: K [mm] \to \IR
[/mm]
(x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] cos(xyz) + [mm] log(1+x^{2}+y^{2}+z^{2}) [/mm] + [mm] sinh(xyz^{2}) [/mm]
ein Maximum auf K annimmt. |
Hallo 
Beschäfte mich gerade mit der Übungsaufgabe in Analysis 2 und bin mir extremst unsicher:
a)
K kompakt [mm] \gdw [/mm] K abgeschlossen und beschränkt.
K abgeschlossen, wenn [mm] \IR^{4} [/mm] /K offen.
Sei a [mm] \in \IR^{4} [/mm] /K beliebig. Dann gibt es eine offene Umgebung V von a, s.d. V [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset, [/mm]
denn andernfalls wäre a ein (Rand-)Punkt von K, was der Annahme a [mm] \in \IR^{4} [/mm] /K widerspricht.
Da [mm] \IR^{4} [/mm] /K offen [mm] \Rightarrow [/mm] K abgeschlossen.
Außerdem ist K durch [mm] \IR^{4} [/mm] /K beschränkt, da kein b [mm] \in [/mm] K existiert, mit b [mm] \in \IR^{4} [/mm] /K.
K ist beschränkt und abgeschlossen, folglich ist K kompakt.
b)
noch in Arbeit
Würde mich freuen, wenn ihr kurz drüberschauen könntet.
Danke schonmal im Voraus
LG,
DrRiese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]K:=\{(x,y,z) \in \IR^{3} | x^{2} + 2y^{4} + 6z^{8} = 1 \}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass K kompakt ist.
> b) Zeigen Sie, dass die Funktion
> g: K [mm]\to \IR[/mm]
> (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] cos(xyz) +
> [mm]log(1+x^{2}+y^{2}+z^{2})[/mm] + [mm]sinh(xyz^{2})[/mm]
> ein Maximum auf K annimmt.
> Hallo
> Beschäfte mich gerade mit der Übungsaufgabe in Analysis
> 2 und bin mir extremst unsicher:
>
> a)
> K kompakt [mm]\gdw[/mm] K abgeschlossen und beschränkt.
> K abgeschlossen, wenn [mm]\IR^{4}[/mm] /K offen.
Sind wir denn nicht in [mm] \IR^3 [/mm] ?????
> Sei a [mm]\in \IR^{4}[/mm] /K beliebig. Dann gibt es eine offene
> Umgebung V von a, s.d. V [mm]\cap[/mm] K = [mm]\emptyset,[/mm]
> denn andernfalls wäre a ein (Rand-)Punkt von K, was der
> Annahme a [mm]\in \IR^{4}[/mm] /K widerspricht.
Diese Argumentation ist nur dann in Ordnung, wenn Du vorher gezeigt hast: $K = [mm] \partial [/mm] K$
> Da [mm]\IR^{4}[/mm] /K offen [mm]\Rightarrow[/mm] K abgeschlossen.
> Außerdem ist K durch [mm]\IR^{4}[/mm] /K beschränkt,
Das ist doch völliger Blödsinn !!
Aus [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{4} [/mm] + [mm] 6z^{8} [/mm] = 1 folgt:
[mm] x^2 \le x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{4} [/mm] + [mm] 6z^{8} [/mm] = 1, also |x| [mm] \le [/mm] 1.
Genauso zeigst Du: |y| [mm] \le [/mm] 1 und |z| [mm] \le [/mm] 1.
FRED
da kein b
> [mm]\in[/mm] K existiert, mit b [mm]\in \IR^{4}[/mm] /K.
> K ist beschränkt und abgeschlossen, folglich ist K
> kompakt.
>
> b)
> noch in Arbeit
>
> Würde mich freuen, wenn ihr kurz drüberschauen könntet.
> Danke schonmal im Voraus
> LG,
> DrRiese
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:45 Mo 20.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
Danke für die schnelle Antwort
Ok, dann probiere ich's mal:
a)
K kompakt [mm] \gdw [/mm] K abgeschlossen und beschränkt.
K abgeschlossen, wenn [mm] \IR^{3} [/mm] /K offen.
Da K geometrisch betrachtet die Hülle einer verformten Kugel, folgt für alle a [mm] \in [/mm] K: für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt sowohl U(a, [mm] \varepsilon) \cap [/mm] K [mm] \not= \emptyset [/mm] , als auch U(a, [mm] \varepsilon) \cap (\IR^{3} [/mm] /K) [mm] \not= \emptyset [/mm] . Also K = [mm] \partial [/mm] K.
Sei b [mm] \in \IR^{3} [/mm] /K beliebig. Dann gibt es eine offene Umgebung V von b, s.d. V [mm] \cap [/mm] K = [mm] \emptyset
[/mm]
denn andernfalls wäre b ein (Rand-)Punkt von K, was der Annahme b [mm] \in \IR^{3} [/mm] /K widerspricht.
Da [mm] \IR^{3} [/mm] /K offen [mm] \Rightarrow [/mm] K abgeschlossen.
Aus [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{4} [/mm] + [mm] 6z^{8} [/mm] = 1 folgt,
[mm] x^{2} \le x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{4} [/mm] + [mm] 6z^{8} [/mm] = 1, also |x| [mm] \le [/mm] 1
[mm] y^{4} \le x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{4} [/mm] + [mm] 6z^{8} [/mm] = 1, also |y| [mm] \le [/mm] 1
[mm] z^{8} \le x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{4} [/mm] + [mm] 6z^{8} [/mm] = 1, also |z| [mm] \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] K ist beschränkt.
K ist beschränkt und abgeschlossen, folglich ist K kompakt.
Wäre das so ok?
Gruß,
DrRiese
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 22.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 13:57 Di 21.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
und zu Teilaufgabe b) hätte ich folgendes:
Wenn K ein kompakter topologischer Raum und g: X [mm] \to \IR [/mm] stetig, dann ist g beschränkt und nimmt Minimum und Maximum auf K an.
K ist laut Teilaufgabe a) ein kompakter Raum.
Aber wie kann man jetzt prüfen, ob K ein topologischer Raum ist? Müsste K hierfür nicht eine offene Menge sein?
Die Funktion g ist stetig, wenn g partiell differenzierbar ist und beschränkte Ableitungen besitzt.
Ok, [mm] \bruch{\partial g}{\partial x} [/mm] = [mm] -yz*sin(syz)+\bruch{2x}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}+yz^{2}*cosh(xyz^{2})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial y} [/mm] = [mm] -xz*sin(syz)+\bruch{2y}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}+xz^{2}*cosh(xyz^{2})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial z} [/mm] = [mm] -xy*sin(syz)+\bruch{2z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}+2xyz*cosh(xyz^{2})
[/mm]
Nur wie krieg ich das mit der Beschränkung hin?
Ich freue mich auf Anregungen
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Sa 25.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
keiner da, der mir helfen kann? :-(
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