Kommutatoruntergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 04.12.2006 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
Sei K ein Körper. Betrachte die Untergruppen von [mm] GL_{3}(K): [/mm] B sei die Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen und U die Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonalen. Für G=B bzw G=U berechne:
a) [mm] N^{i}=[G,N^{i-1}] [/mm] mit [mm] N^{0}=G
[/mm]
b) [mm] D^{i}=[D^{i-1},D^{i-1}] [/mm] mit [mm] D^{0}=G.
[/mm]
Sind B und U auflösbar?
Ich verstehe vorallem nicht was N und D sein sollen (wie sie aussehen), damit man damit weiterrechnen kann...
|
|
| |
|
Gruss!
Wieso, es steht doch da...? Oder ist Dir die Notation mit den eckigen Klammern nicht vertraut?
Ist $G$ eine Gruppe und sind $X,Y [mm] \subseteq [/mm] G$, dann definiere
$[X,Y] := [mm] \langle xyx^{-1}y^{-1} [/mm] : x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y [mm] \rangle$
[/mm]
Im Klartext: Du nimmst die Kommutatoren von Elementen in $X$ und $Y$ und bildest die davon erzeugte Gruppe.
Für abelsche Gruppen ist z.B. $[G,G] = [mm] \{ e \}$.
[/mm]
Für die N's gilt: [mm] $N^0 [/mm] = G$ und [mm] $N^i [/mm] = [G, [mm] N^{i-1}]$, [/mm] also:
[mm] $N^0 [/mm] = G$
[mm] $N^1 [/mm] = [G,G]$
[mm] $N^2 [/mm] = [mm] [G,N^1] [/mm] = [mm] \big[G,[G,G]\big]$
[/mm]
usw.
Die D's sind ähnlich definiert: [mm] $D^0 [/mm] = G$ und [mm] $D^i [/mm] = [mm] [D^{i-1},D^{i-1}]$. [/mm] Also:
[mm] $D^0 [/mm] = G$
[mm] $D^1 [/mm] = [G,G]$
[mm] $D^2 [/mm] = [mm] [D^1,D^1] [/mm] = [mm] \big[[G,G],[G,G]\big]$
[/mm]
usw.
Alles klar? 
Lars
|
|
|
|
