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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mi 20.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
im weiteren sei [m] (G, \cdot) [/m] eine gruppe und [m] x, y \in G [/m].
in einer vorlesung wurde der kommutator einer gruppe verwendet. ich habe nun mal im internet gesucht und dabei folgende definitionen gefunden:
[m] [x, y] := xyx^{-1}y^{-1} [/m] ist der kommutator zweier element
[m] [A, B] := \left< [a, b]: a \in A, b \in B \right> [/m] mit [m]A, B \subset G [/m].
stimmt das soweit?
es sollte sich ja nun zeigen lassen, das [m] [G, G] [/m] ein normalteiler ist und [m] G / [G, G] [/m] eine abelsche gruppe? wie beweist man das denn dann?
ich hoffe die fragen sind nicht allzu einfach - ich hatte bisher nämlich nie etwas mit kommutatoren zu tuen.
grüße
andreas
ps über gute skripte zu dem thema würde ich mich natürlich auch freuen.
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Grüße!
Also, zunächst mal: die Definition stimmt soweit, zumindest war sie bei uns genauso. 
Als erstes macht man sich klar, dass im Fall einer abelschen Gruppe $G$ doch gilt: $[x,y] = e$ für $x,y [mm] \in [/mm] G$ beliebig. Daher ist der Kommutator im Fall einer abelschen Gruppe trivial, also Normalteiler  und der Quotient $G / [mm] \{ e \} [/mm] = G$ wieder abelsch.
Sei nun also $G$ beliebig und $U := [G,G] = [mm] \langle [/mm] [x,y] : x,y [mm] \in [/mm] G [mm] \rangle$. [/mm] Also ist $U$ die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe. (Danke an Stefan für diesen Hinweis. Natürlich bilden die Kommutatoren im Allg. alleine noch keine Untergruppe!)
Für die Normalteilereigenschaft muß gezeigt werden, dass für $u = [a,b] [mm] \in [/mm] U$ und $g [mm] \in [/mm] G$ beliebig gilt:
[mm] $gug^{-1} \in [/mm] U$.
Also gilt es Elemente $c,d [mm] \in [/mm] G$ zu finden mit [mm] $gug^{-1} \in [/mm] U$. Und natürlich reicht es (auch hier Dank an Stefan), das für die Erzeuger von $U$, also die Elemente der Form $[x,y]$ nachzuweisen.
Wenn das alles vollbracht ist, widme man sich dann der Faktorgruppe. Diese entsteht ja aus $G$ dadurch, dass zwei Elemente identifiziert werden, wenn sich ihre "Differenz" (in diesem Fall vielleicht besser: ihr Quotient) in der Untergruppe befindet.
Wenn also $x,y [mm] \in [/mm] G$ beliebig gegeben ist, dann betrachtet man $xy$ und $yx$ in der Faktorgruppe. Ihre Differenz ist gerade [mm] $xyx^{-1}y^{-1} \in [/mm] U$ und damit in der Faktorgruppe gleich $e$. Damit gilt aber $xy = yx$ für alle $x,y [mm] \in [/mm] G / [G,G]$ und damit ist die Faktorgruppe abelsch.
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 20.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
danke Lars für die antwort.
aber ich hänge schon bei dem ganz einfachen problem, warum [m] u, v \in U \; \Longrightarrow \; uv \in U [/m].
schreibe ich nun diesen ausdruck hin mit [m] u = [a, b] [/m], [m] v = [c, d] [/m] und [m] uv = [f, g] [/m] so erhalte ich
[m] aba^{-1}b^{-1}cdc^{-1}d^{-1} = fgf^{-1}g^{-1} [/m]
ich habe nun aber keine ahnung, welchen wert ich [m] f [/m] und [m] g [/m] zuweisen soll, da ich an der gleichung ja quasi nichts manipulieren kann und sie insbesondere nicht nach $f$ oder $g$ auflösen kann. könnte mir da vielleicht nochmal jemand einen tipp geben, dann ist hoffentlich das mit dem normalteiler auch klar.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas, lieber Lars!
Ich widerspreche Lars wirklich ungern, insbesondere in algebraischen Fragen (bei denen er definitiv hundert mal mehr Ahnung hat als ich), aber ich denke hier irrt Lars.
Die Kommutatoren einer Gruppe bilden meiner Ansicht nach keine Untergruppe. Stattdessen ist die Kommutatoruntergruppe nach Definition die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe, also die kleinste Untergruppe, die alle Kommutatoren enthält.
Sollte ich das falsch in Erinnerung haben, dann möge man mir verzeihen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mi 20.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Stefan
danke für den hinweis. das habe ich oben ja sogar selber geschrieben - wie vergesslich man in meinem alter schon sein kann.
dann stellt sich aber natürlich eine andere frage - da es sich bei [m] [G, G] [/m] nun trivialerweise um eine untergruppe handelt: warum ist dies dann ein normalteiler?
und noch eine frage: wenn [m] S_3 [/m] die symmetrische gruppe bezeichnet (permutationan auf $3$ elementen) gilt dann [m] [S_3, S_3] = A_3 [/m] und [m] S_3 / [S_3, S_3] \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [/m] oder habe ich mich da irgendwo verrechnet?
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Nun ich denke, da für jedes $x [mm] \in [/mm] G$ die Abbildung
[mm] $\varphi_x: \begin{array}{ccc} G & \to & G \\[5pt] a & \mapsto & xax^{-1} \end{array}$
[/mm]
ein Gruppenmorphismus ist, genügt es die Aussage
[mm] $xax^{-1} \in [/mm] [G,G]$ für alle $x [mm] \in [/mm] G$
für alle Erzeugenden von $a$ von $[G,G]$ zu zeigen, also für die Kommutatoren selbst.
(Denn dann folgt für alle $x [mm] \in [/mm] G$ aus [mm] $\varphi_x(a) \in [/mm] [G,G]$ für alle Kommutatoren $a$ sofort [mm] $\varphi_x([G,G]) \subset [/mm] [G,G]$.)
Nun ist aber für $a=[b,c]$:
[mm] $x[b,c]x^{-1} [/mm] = [mm] xbcb^{-1}c^{-1}x^{-1} [/mm] = [mm] xbcb^{-1}x^{-1}c^{-1}cxc^{-1}x^{-1} [/mm] = [xb,c] [mm] \, [/mm] [c,x] [mm] \in [/mm] [G,G]$.
> und noch eine frage: wenn [m]S_3[/m] die symmetrische gruppe
> bezeichnet (permutationan auf [mm]3[/mm] elementen) gilt dann [m][S_3, S_3] = A_3[/m]
> und [m]S_3 / [S_3, S_3] \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/m] oder habe
> ich mich da irgendwo verrechnet?
Das habe ich auch raus. (Was nicht heißt, dass es richtig ist. )
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 20.10.2004 | | Autor: | andreas |
> Nun ich denke, da für jedes [mm]a \in G[/mm] die Abbildung
>
> [mm]\varphi_a: \begin{array}{ccc} G & \to & G \\[5pt] x & \mapsto & xax^{-1} \end{array}[/mm]
>
>
> ein Automorphismus ist,
warum gilt denn das?
wenn man für [m] (G, \circ) [/m] eine beliebige abelsche gruppe wählt, so erhält man doch [m] \varphi_a(x) = xax^{-1} = xx^{-1}a = ea = a \quad \forall \, x \in G [/m] und damit ist [m] \varphi_a [/m] nicht injektiv und insbesondere kein automorphismus, wenn [m] |G| > 1 [/m].
meintest du vielleicht
[mm]\varphi_a: \begin{array}{ccc} G & \longrightarrow & G \\[5pt] x & \longmapsto & axa^{-1} \end{array}[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Ja, hatte es selber gerade gemerkt und verbessert, war ein Schreibfehler.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andreas!
Ist denn jetzt alles klar oder hast du noch Fragen?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mi 20.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
nochmal dank an Lars und Stefan. mir ist das jetzt soweit klar. wenn ich noch problem haben sollte, melde ich mich nochmal.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
> Ich widerspreche Lars wirklich ungern, insbesondere in
> algebraischen Fragen (bei denen er definitiv hundert mal
> mehr Ahnung hat als ich), aber ich denke hier irrt Lars.
>
> Die Kommutatoren einer Gruppe bilden meiner Ansicht nach
> keine Untergruppe. Stattdessen ist die
> Kommutatoruntergruppe nach Definition die von den
> Kommutatoren erzeugte Untergruppe, also die kleinste
> Untergruppe, die alle Kommutatoren enthält.
>
> Sollte ich das falsch in Erinnerung haben, dann möge man
> mir verzeihen.
Nein, mir möge man verzeihen - Du hast natürlich völlig Recht Stefan, im Allgemeinen bilden die Kommutatoren allein noch keine Untergruppe, daher ist die Kommutatorgruppe, die von den Elementen der Form $[x,y]$ erzeugte Gruppe.
Die vorliegende Aufgabe wird dadurch natürlich noch einfacher.
*sich Asche aufs Haupt streut*
Lars
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