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| Aufgabe | Die ganze Zahl z e Z sein in Z kein Quadrat. Zeigen Sie, das G=QxQ bezüglich der durch (a,b) (c,d)= (ac+zbd, ad+bc) definierten Verknüpfung ein kommutatives Monoid ist. Geben sie die Einheitengruppe E(G) von G an.
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Hab leider beim Ansatz der Aufgabe ein paar Probleme:
ich kann mit (a,b) (c,d)= (ac+zbd, ad+bc) nicht all zuviel anfangen. Vermutlich steh ich da gerade auf dem Schlauch. Wer kann mir hier helfen? Ich bin schon zufrienden wenn ich den Beweis des kommutativen Monoids hinbekommen...das mit der Einheitengruppe ist mir weniger wichtig. ICh möchte zumindest ein paar Teilpunkte für die Aufgabe bekommen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 19.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Die ganze Zahl z e Z sein in Z kein Quadrat. Zeigen Sie,
> das G=QxQ bezüglich der durch (a,b) (c,d)= (ac+zbd, ad+bc)
> definierten Verknüpfung ein kommutatives Monoid ist. Geben
> sie die Einheitengruppe E(G) von G an.
> Hab leider beim Ansatz der Aufgabe ein paar Probleme:
> ich kann mit (a,b) (c,d)= (ac+zbd, ad+bc) nicht all zuviel
> anfangen. Vermutlich steh ich da gerade auf dem Schlauch.
Das ist die Definition der Verknüpfung im Monoid.
Tipp: Für z=-1 entspräche diese Verknüpfung der auf den komplexen Zahlen.
> Wer kann mir hier helfen? Ich bin schon zufrienden wenn ich
> den Beweis des kommutativen Monoids hinbekommen...das mit
> der Einheitengruppe ist mir weniger wichtig.
Warum? Neutrales Element ist offenbar (1,0).
Die Einheitengruppe besteht nun genau aus den in G invertierbaren Elementen.
LG
Will
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