Kommutativer Ring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Tasel |
| Aufgabe | Sei $R$ ein kommutativer Ring ohne Nullteiler mit $|R| = n$ für eine natürliche Zahl $n [mm] \ge [/mm] 2$. Zeigen Sie:
a) Ist $0 [mm] \not= [/mm] a [mm] \in [/mm] R$, so ist die Abbildung [mm] $m_a [/mm] : R [mm] \to [/mm] R, r [mm] \mapsto [/mm] ar$, eine Bijektion.
b) Der Ring $R$ ist ein Körper |
Hallo!
Zur Aufgabe a) habe ich bisher folgendes:
[mm] $m_a$ [/mm] ist Injektiv:
Angenommen [mm] $m_a$ [/mm] sei nicht injektiv, dann gilt:
[mm] $m_a(r) [/mm] = [mm] m_a(s) [/mm] , r,s [mm] \in [/mm] R$
$ar = as$
$r = s$ und dies ist ein Widerspruch zur Annahme.
[mm] $m_a$ [/mm] ist Surjektiv:
Sei [mm] $a^{-1}$ [/mm] die Inverse zu $a$, so gilt:
$r = [mm] a^{-1}r \in [/mm] R$
[mm] $m_a(r) [/mm] = ar = [mm] aa^{-1}r [/mm] = r$
Und hier beginnt mein Problem. Ich nehme ja hier zwangsweise an, dass es ein iverses Element zu $a$ gibt. Allerdings ohne jeglichen Beweis. Wie könnte man dies denn beweisen?
Den Beweis für die Bijektivität benötige ich ja auch in Aufgabe b). Um zu zeigen, dass dieser Ring auch ein Körper ist, fehlt ja eigentlich nur die Bedingung, dass es ein Inverses zu $a$ gibt, alle anderen Kriterien werden ja schon von der Aufgabenstellung erfüllt, oder?
Danke für Eure Hilfe,
Tasel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]R[/mm] ein kommutativer Ring ohne Nullteiler mit [mm]|R| = n[/mm] für
> eine natürliche Zahl [mm]n \ge 2[/mm]. Zeigen Sie:
>
> a) Ist [mm]0 \not= a \in R[/mm], so ist die Abbildung [mm]m_a : R \to R, r \mapsto ar[/mm],
> eine Bijektion.
>
> b) Der Ring [mm]R[/mm] ist ein Körper
> Hallo!
>
> Zur Aufgabe a) habe ich bisher folgendes:
>
> [mm]m_a[/mm] ist Injektiv:
>
> Angenommen [mm]m_a[/mm] sei nicht injektiv, dann gilt:
> [mm]m_a(r) = m_a(s) , r,s \in R[/mm]
> [mm]ar = as[/mm]
> [mm]r = s[/mm] und dies ist
Dieser Schritt geht weil $a$ kein Nullteiler ist. Das musst du dazusagen!
> ein Widerspruch zur Annahme.
>
> [mm]m_a[/mm] ist Surjektiv:
>
> Sei [mm]a^{-1}[/mm] die Injektive zu [mm]a[/mm], so gilt:
Du meinst: Inverse. Aber deren Existenz hast du noch nicht, wie du selbst bemerkst.
> Den Beweis für die Bijektivität benötige ich ja auch in
> Aufgabe b). Um zu zeigen, dass dieser Ring auch ein Körper
> ist, fehlt ja eigentlich nur die Bedingung, dass es ein
> Inverses zu [mm]a[/mm] gibt, alle anderen Kriterien werden ja schon
> von der Aufgabenstellung erfüllt, oder?
Genau.
Aber mal anders:
Du hast eine injektive Funktion $f : A [mm] \to [/mm] A$, wobei $A$ eine endliche Menge ist. Kann es vorkommen, dass $f$ nicht surjektiv ist?
Wenn du nicht weisst worauf ich hinaus will, probier es mal mit $|A| = 2$ oder $|A| = 3$ aus.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Tasel |
Hallo, zunächst danke für deine Hilfe.
Angenommen $A = [mm] \{ 1, 2 \}$. [/mm] Dann ist die Funktion $f : A [mm] \to [/mm] A: 1 [mm] \mapsto [/mm] 1$ injektiv, da jedem $y$ höchstens ein $x$ zugeordner wird. Die Funktion ist aber nicht surjektiv, da der 2 aus der Zielmenge kein x zugeordnert wird, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo, zunächst danke für deine Hilfe.
>
> Angenommen [mm]A = \{ 1, 2 \}[/mm]. Dann ist die Funktion [mm]f : A \to A: 1 \mapsto 1[/mm]
> injektiv, da jedem [mm]y[/mm] höchstens ein [mm]x[/mm] zugeordner wird. Die
> Funktion ist aber nicht surjektiv, da der 2 aus der
> Zielmenge kein x zugeordnert wird, oder?
Das ist keine Funktion, da $f(2)$ nicht definiert ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Tasel |
Das ist mir ja direkt peinlich, da hast du vollkommen recht.
Nein, irgenwie kann ich mich dann drehen oder wenden wie ich will, es ist dann immer auch surjektiv. Wenn ein x zwei y Werte hätte, dann wäre es ja nicht mehr injektiv und wenn ich ein x auslasse passiert sowas wie mir eben und die ganze Funktion ist nicht mehr definiert. Damit hat also jedes y in einem solchen Fall genau ein x.
Nun muss ich nur noch irgendwie zusehen, dass ich das auch für zwei beliebige, aber gleiche, Mengen sauber hinbekomme. Dann kann ich das auch ohne Probleme für b) verwenden.
|
|
|
|
