Kommutative Monoide < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin durch eine Spielerei zu folgender Fragestellung gekommen:
Es sei $C $ eine Kategorie mit endlichen Koprodukten (insbesondere also einem initialen Objekt). Dann bilden die Isomorphieklassen von Objekten aus $ C $ ein additives kommutatives Monoid, wobei die Summe zweier Objekte durch deren Koprodukt gegeben ist.
Frage: Kann man (bis auf Isomorphie) jedes kommutative Monoid auf diese Weise erhalten? Falls nein, wie kann man Monoide mit dieser Eigenschaft klassifizieren?
Falls jemand Zeit und Lust hat, darüber nachzugrübeln (oder es völlig trivial ist), würde ich mich über Anmerkungen jeder Art freuen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: Mir ist mittlerweile klar, dass es außer dem initialen Objekt keine invertierbaren Elemente existieren dürfen. Genügt das bereits?
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Was mir gerade nicht einmal klar ist: Kann ich so nichttriviale abelsche Gruppen erhalten? Das heißt, kann in einer Kategorie [mm] $a\sqcup [/mm] b=0$ gelten mit $ [mm] a\not\cong [/mm] 0$?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 So 15.06.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo.
Nein das geht nicht. Denn es gilt für [mm]a\sqcup b=0[/mm]: [mm]Hom(0, -)=Hom(a\sqcup b, -)=Hom(a, - )\times Hom(b, -)[/mm].
Und daraus folgt [mm]a\cong b \cong 0[/mm].
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Hi Berieux, das habe ich auch bemerkt und es ist im Anfangspost bereits editiert. Hättest du Ideen zu der allgemeinen Fragestellung?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 So 15.06.2014 | | Autor: | Berieux |
Bei math stackexchange wird gerade diskutiert inwieweit das möglich ist für Monoide für die nur das neutrale Element invertierbar ist. Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
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Oh, gut zu wissen! Ich hatte mich bereits mit Martin Brandenburg unterhalten, war mir aber nicht bewusst, dass er jetzt auf math.se nachgefragt hat. Nachdem mir die Frage gekommen war, habe ich nämlich gesehen, dass er eine ähnliche Frage auf math.se gestellt hatte: Halbringe und symmetrische monoidale Kategorien mit endlichen Koprodukten
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 19.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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