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Kofaktormatrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Fr 09.01.2009
Autor: laurel

Aufgabe
Sei K ein Körper, n [mm] \ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl, A [mm] \in [/mm] Mat(n, K) eine Matrix, und C=((-1)^(i+j) det (A^ij)) [mm] \in [/mm] Mat (n, K) ihre Kofaktormatrix. Zeigen Sie, dass det(C) = det(A)^(n-1) gilt.

Hallo an alle!!! Kann mir jemand dabei helfen?
Ich weiß nicht, wie ich det ( A^(n-1)) darstellen kann!
Danke im Voraus!
Ich habe die Frage in keine andere Foren gestellt.

        
Bezug
Kofaktormatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:54 Sa 10.01.2009
Autor: felixf

Hallo

> Sei K ein Körper, n [mm]\ge[/mm] 2 eine natürliche Zahl, A [mm]\in[/mm]
> Mat(n, K) eine Matrix, und C=((-1)^(i+j) det (A^ij)) [mm]\in[/mm]
> Mat (n, K) ihre Kofaktormatrix. Zeigen Sie, dass det(C) =
> det(A)^(n-1) gilt.
>
>  Hallo an alle!!! Kann mir jemand dabei helfen?
>  Ich weiß nicht, wie ich det ( A^(n-1)) darstellen kann!

Nun, weisst du was $A [mm] \cdot [/mm] C$ oder $C [mm] \cdot [/mm] A$ ist? Das kann man ziemlich konkret mit Hilfe von [mm] $\det [/mm] A$ angeben.

Und jetzt berechne doch mal vom Produkt und von dem Ergebnis die Determinante aus und versuch damit was hinzubekommen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Kofaktormatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Sa 10.01.2009
Autor: laurel

Hi!!
Also AC=CA=detA= [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j)) [/mm]
ich brauche ja [mm] det(A^{n-1})=(AC)^{n-1}=(\summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j))^{n-1} [/mm]
Von hier komme ich irgendwie nicht weiter.
ich weiss nicht, wie ich jetzt det(C) und det(A^(n-1) vergleichen soll, wenn [mm] det(C)=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}det(A^i^j)det(C^i^j) [/mm]
Danke!!
Gruß

Bezug
                        
Bezug
Kofaktormatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Sa 10.01.2009
Autor: felixf

Hallo

>  Also AC=CA=detA= [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j))[/mm]

Da stehen erst zwei Matrizen und dann zwei Skalare. Das kann schonmal nicht stimmen.

Und warum sollen die letzten beiden Skalare gleich sein? Und was sind die [mm] $\lambda_{ij}$? [/mm]

> ich brauche ja [mm]det(A^{n-1})=(AC)^{n-1}=(\summe_{i=1}^{n} \lambda_i_j(-1)^{i+j}det(A^i^j))^{n-1}[/mm]
>  
> Von hier komme ich irgendwie nicht weiter.

Dazu solltest du erstmal den obigen Teil klaeren.

>  ich weiss nicht, wie ich jetzt det(C) und det(A^(n-1)
> vergleichen soll, wenn
> [mm]det(C)=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}det(A^i^j)det(C^i^j)[/mm]

Wieso sollte das [mm] $\det [/mm] C$ sein?

LG Felix


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