Körperhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 16.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Seien K und L zwei endliche Körper der Charakteristik p mit |K| = [mm] p^{m} [/mm] und |L| = [mm] p^{n}. [/mm]
Zeige, dass es genau dann einen Körperhom. [mm] \phi: K\to [/mm] L gibt, wenn m ein Teiler von n ist. |
Hallo,
ich hab Schwierigkeiten bei der Lösung dieser Aufgabe. Ich hoffe daher, dass mir jemand etwas weiter helfen könnte. Das wäre sehr nett.
Mir ist klar, dass man hier 2 Richtungen zeigen muss. Aber ich weiß nicht genau, wie ich das zu zeigen habe.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Annahme, es gibt einen Körperhom. [mm] \phi: K\to [/mm] L.
Wie muss ich denn genau diese Abb. definieren?
Für [mm] \phi [/mm] gilt doch: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] K: [mm] \phi(ab) [/mm] = [mm] (ab)^{p} [/mm] = [mm] a^{p} b^{p} [/mm] = [mm] \phi(a) \phi(b)
[/mm]
[mm] \phi(a+b) [/mm] = [mm] (a+b)^{p} [/mm] = [mm] a^{p} [/mm] + [mm] b^{p} [/mm]
Aber wie kann ich zeigen, dass m ein Teiler von n ist?
Bei der anderen Richtung, weiß ich leider auch nicht, wie da den Beweis ansetzen soll.
Ich bitte daher um Hilfe.
Dankeschonmal!!
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 16.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Moe
Wenn es einen Körperhomomorphismus der angebenen Art gibt, besitzt L eine zu K isomorphen Unterkörper. Beachte, dass Körperhomomorphismen stets injektiv sind. Wir können daher sagen L besitzt K als Unterkörper. Dann ist L automatisch ein K Vektorraum (überprüfe die Vektorraumaxiome!). L besitzt daher eine K Basis der grösse s, dann gilt aber [mm] $|L|=|K|^s$ [/mm] und die Aussage folgt.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Di 16.01.2007 | | Autor: | felixf |
Sali Moe,
> Seien K und L zwei endliche Körper der Charakteristik p mit
> |K| = [mm]p^{m}[/mm] und |L| = [mm]p^{n}.[/mm]
> Zeige, dass es genau dann einen Körperhom. [mm]\phi: K\to[/mm] L
> gibt, wenn m ein Teiler von n ist.
> Hallo,
> ich hab Schwierigkeiten bei der Lösung dieser Aufgabe. Ich
> hoffe daher, dass mir jemand etwas weiter helfen könnte.
> Das wäre sehr nett.
>
> Mir ist klar, dass man hier 2 Richtungen zeigen muss. Aber
> ich weiß nicht genau, wie ich das zu zeigen habe.
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Annahme, es gibt einen Körperhom. [mm]\phi: K\to[/mm]
> L.
> Wie muss ich denn genau diese Abb. definieren?
> Für [mm]\phi[/mm] gilt doch: [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] K: [mm]\phi(ab)[/mm] = [mm](ab)^{p}[/mm]
> = [mm]a^{p} b^{p}[/mm] = [mm]\phi(a) \phi(b)[/mm]
> [mm]\phi(a+b)[/mm] = [mm](a+b)^{p}[/mm] =
> [mm]a^{p}[/mm] + [mm]b^{p}[/mm]
du brauchst die Homomorphismen nicht explizit zu betrachten.
> Aber wie kann ich zeigen, dass m ein Teiler von n ist?
Das hat moudi schon beantwortet.
> Bei der anderen Richtung, weiß ich leider auch nicht, wie
> da den Beweis ansetzen soll.
Dazu musst du die Polynome [mm] $x^{p^n} [/mm] - x [mm] \in (\IZ/p\IZ)[x]$ [/mm] betrachten; der Zerfaellungskoerper ist genau der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Koerper mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen.
Zeige folgendes: wenn $m$ ein Teiler von $n$ ist, so ist [mm] $x^{p^m} [/mm] - x$ ein Teiler von [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$.
Und dann ueberlege dir, dass daraus folgt, dass $L$ einen Unterkoerper mit [mm] $p^m$ [/mm] Elementen hat und dass dieser isomorph zu $K$ ist. Die Verkettung des Isomorphismus mit der Inklusion des Unterkoerpers in $L$ ergibt dann den Homomorphismus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf und moudi,
danke für eure Antworten. Ich hab bloß leider nicht alles verstanden.
Ich hab ein paar Fragen zu den beiden Richtungen:
[mm] "\Rightarrow": [/mm]
Wieso kann man denn sagen, dass wenn der Körperhom. [mm] \phi: [/mm] K [mm] \to [/mm] L injektiv ist, L als Unterkörper K besitzt?
Dann soll ich ja für L die Vektorraumaxiome zeigen. Muss ich dann zeigen, dass (L,+) eine abelsche Gruppe ist, [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] L: a(b+c) = ab + ac, 1*a = a gilt? Oder sehen die Elemente in L anders aus? Wie kommt da die Charakteristik p von K und L ins Spiel?
Dann hat moudi geschrieben:
"L besitzt daher eine K-Basis der Größe s." Was ist hier das s genau? Und wie kommt man auf s? L hat doch [mm] p^{n} [/mm] Elemente.
Dann gilt |L| = [mm] |K|^{s}, [/mm] d.h. doch [mm] p^{n} [/mm] = [mm] (p^{m})^{s} [/mm] = [mm] p^{ms}. [/mm] Und daraus folgt: n = m*s. Also ist m ein Teiler von n.
Dann hab ich noch Fragen zur anderen Richtung " [mm] \Leftarrow":
[/mm]
> Dazu musst du die Polynome [mm]x^{p^n} - x \in (\IZ/p\IZ)[x][/mm]
> betrachten; der Zerfaellungskoerper ist genau der bis auf
> Isomorphie eindeutig bestimmte Koerper mit [mm]p^n[/mm] Elementen.
Ich versteh nicht ganz, warum der Zerfällungskörper [mm] p^{n} [/mm] Elemente hat. Hat er nicht [mm] p^{m} [/mm] Elemente?
Weil in meinem Skript steht:
Ist K ein endlicher Körper, Char(K) = p mit [mm] p^{m} [/mm] Elementen. Dann ist K ein Zerfällungskörper von [mm] X^{p^{m}} [/mm] - X über [mm] \IZ [/mm] / (p) [X].
Dem nach hätte K doch [mm] p^{m} [/mm] Elemente oder?
>
> Zeige folgendes: wenn [mm]m[/mm] ein Teiler von [mm]n[/mm] ist, so ist
> [mm]x^{p^m} - x[/mm] ein Teiler von [mm]x^{p^n} - x[/mm].
Da habe ich versucht, Polynomdivision zu machen, aber da komm ich zu keinem Ende. Kann man das auch irgendwie anders machen?
>
> Und dann ueberlege dir, dass daraus folgt, dass [mm]L[/mm] einen
> Unterkoerper mit [mm]p^m[/mm] Elementen hat und dass dieser isomorph
> zu [mm]K[/mm] ist. Die Verkettung des Isomorphismus mit der
> Inklusion des Unterkoerpers in [mm]L[/mm] ergibt dann den
> Homomorphismus.
Wenn [mm] \gamma: [/mm] K [mm] \to [/mm] M Isomorphimus und i: M [mm] \to [/mm] L die Inklusion des Unterkörpers in L, dann ist der gesuchte Körperhom. [mm] \phi [/mm] = i [mm] \circ \gamma [/mm] oder?
Ich hoffe, ihr helft mir weiter.
Danke nochmals.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 18.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Moe
> Hallo felixf und moudi,
> danke für eure Antworten. Ich hab bloß leider nicht alles
> verstanden.
> Ich hab ein paar Fragen zu den beiden Richtungen:
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> Wieso kann man denn sagen, dass wenn der Körperhom. [mm]\phi:[/mm] K
> [mm]\to[/mm] L injektiv ist, L als Unterkörper K besitzt?
Wenn [mm] $\varphi$ [/mm] injektiver Homomorphismus ist, so ist das Bild [mm] $\varphi(K)$ [/mm] ein zu K isomorpher Körper, der Isomorphismus ist durch [mm] $\varphi$ [/mm] gegeben.
> Dann soll ich ja für L die Vektorraumaxiome zeigen. Muss
> ich dann zeigen, dass (L,+) eine abelsche Gruppe ist,
> [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in[/mm] L: a(b+c) = ab + ac, 1*a = a gilt? Oder
> sehen die Elemente in L anders aus? Wie kommt da die
> Charakteristik p von K und L ins Spiel?
Die abelsche Gruppe von L, +, ist natürlich die Addition im Körper von L. Da musst du nichts zeigen. Die skalare Multiplikation ist natürlich die Multiplikation im Körper L. Die Vektorraumaxiome reduzieren sich dann "im wesentlichen" auf das Distributivgesetz im Körper L. Die Charakteristik hat hier überhaupt keinen Einfluss.
>
> Dann hat moudi geschrieben:
> "L besitzt daher eine K-Basis der Größe s." Was ist hier
> das s genau? Und wie kommt man auf s? L hat doch [mm]p^{n}[/mm]
Das s ist die K-Vektorraumdimension von L. Es stellt sich heraus, dass $s=m/n$.
> Elemente.
>
> Dann gilt |L| = [mm]|K|^{s},[/mm] d.h. doch [mm]p^{n}[/mm] = [mm](p^{m})^{s}[/mm] =
> [mm]p^{ms}.[/mm] Und daraus folgt: n = m*s. Also ist m ein Teiler
> von n.
Ja genau.
mfG Moudi
>
> Dann hab ich noch Fragen zur anderen Richtung "
> [mm]\Leftarrow":[/mm]
>
> > Dazu musst du die Polynome [mm]x^{p^n} - x \in (\IZ/p\IZ)[x][/mm]
> > betrachten; der Zerfaellungskoerper ist genau der bis auf
> > Isomorphie eindeutig bestimmte Koerper mit [mm]p^n[/mm] Elementen.
>
> Ich versteh nicht ganz, warum der Zerfällungskörper [mm]p^{n}[/mm]
> Elemente hat. Hat er nicht [mm]p^{m}[/mm] Elemente?
> Weil in meinem Skript steht:
> Ist K ein endlicher Körper, Char(K) = p mit [mm]p^{m}[/mm]
> Elementen. Dann ist K ein Zerfällungskörper von [mm]X^{p^{m}}[/mm] -
> X über [mm]\IZ[/mm] / (p) [X].
>
> Dem nach hätte K doch [mm]p^{m}[/mm] Elemente oder?
> >
> > Zeige folgendes: wenn [mm]m[/mm] ein Teiler von [mm]n[/mm] ist, so ist
> > [mm]x^{p^m} - x[/mm] ein Teiler von [mm]x^{p^n} - x[/mm].
>
> Da habe ich versucht, Polynomdivision zu machen, aber da
> komm ich zu keinem Ende. Kann man das auch irgendwie anders
> machen?
> >
> > Und dann ueberlege dir, dass daraus folgt, dass [mm]L[/mm] einen
> > Unterkoerper mit [mm]p^m[/mm] Elementen hat und dass dieser isomorph
> > zu [mm]K[/mm] ist. Die Verkettung des Isomorphismus mit der
> > Inklusion des Unterkoerpers in [mm]L[/mm] ergibt dann den
> > Homomorphismus.
>
> Wenn [mm]\gamma:[/mm] K [mm]\to[/mm] M Isomorphimus und i: M [mm]\to[/mm] L die
> Inklusion des Unterkörpers in L, dann ist der gesuchte
> Körperhom. [mm]\phi[/mm] = i [mm]\circ \gamma[/mm] oder?
>
> Ich hoffe, ihr helft mir weiter.
>
> Danke nochmals.
>
> Viele Grüße,
>
> Moe
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 18.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo moudi,
vielen Dank für deine Antwort.
Du hast mir geschrieben, dass sich die Vektorraumaxiome i.w. auf die Distributivgesetze im Körper L reduzieren.
Also ist z.z. [mm] \forall \alpha \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] L: [mm] \alpha(x+y) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \alpha [/mm] y,
[mm] \forall \alpha, \beta \in [/mm] K, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] L: [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] *x = [mm] \alpha [/mm] * x + [mm] \beta [/mm] * x
und 1 * x = x
Aber ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen soll. Diese Axiome folgen doch direkt, da K und L Körper sind oder? Oder wie kann ich das konkret zeigen?
> > "L besitzt daher eine K-Basis der Größe s." Was ist
> hier
> > das s genau? Und wie kommt man auf s? L hat doch [mm]p^{n}[/mm]
> Das s ist die K-Vektorraumdimension von L. Es stellt sich
> heraus, dass [mm]s=m/n[/mm].
Nimmt man dann einfach an, dass die K-VR-dimension von L = s ist, also s Basiselemente {1,...., [mm] X^{s-1} [/mm] }. Aber wieso darf man das so annehmen? Weil L ein endlicher Körper ist?
Und vor den s Basiselementen hat man [mm] p^{m} [/mm] = |K| Möglichkeiten für die Koeffizienten. Daher |L| = [mm] |K|^{s} [/mm] oder?
> > Dann gilt |L| = [mm]|K|^{s},[/mm] d.h. doch [mm]p^{n}[/mm] = [mm](p^{m})^{s}[/mm] =
> > [mm]p^{ms}.[/mm] Und daraus folgt: n = m*s. Also ist m ein Teiler
> > von n.
> Ja genau.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Vielen Dank!!!
VG, Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Fr 19.01.2007 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi,
> vielen Dank für deine Antwort.
> Du hast mir geschrieben, dass sich die Vektorraumaxiome
> i.w. auf die Distributivgesetze im Körper L reduzieren.
> Also ist z.z. [mm]\forall \alpha \in[/mm] K [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] L:
> [mm]\alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y [/mm] ,
> [mm]\forall \alpha, \beta \in K, \forall x \in L: (\alpha +\beta) *x = \alpha * x + \beta* x [/mm]
>
> und [mm]1 * x = x[/mm]
>
> Aber ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen soll. Diese
> Axiome folgen doch direkt, da K und L Körper sind oder?
> Oder wie kann ich das konkret zeigen?
Ja, da L ein Körper ist, gilt das Distributivgesetz und die anderen z.z. Axiome. Es gibt daher nicht viel zu zeigen.
>
>
> > > "L besitzt daher eine K-Basis der Größe s." Was ist
> > hier
> > > das s genau? Und wie kommt man auf s? L hat doch [mm]p^{n}[/mm]
> > Das s ist die K-Vektorraumdimension von L. Es stellt sich
> > heraus, dass [mm]s=m/n[/mm].
>
> Nimmt man dann einfach an, dass die K-VR-dimension von L =
> s ist, also s Basiselemente [mm]\{1,...., X^{s-1} \}[/mm]. Aber wieso
> darf man das so annehmen? Weil L ein endlicher Körper ist?
Dass L mit Sicherheit ein endlichdimensionaler K-Vektorraum ist, liegt daran, dass L endlich ist.
> Und vor den s Basiselementen hat man [mm]p^{m} = |K| [/mm]
> Möglichkeiten für die Koeffizienten. Daher [mm]|L| = |K|^{s}[/mm]
> oder?
Ja.
>
>
> > > Dann gilt |L| = [mm]|K|^{s},[/mm] d.h. doch [mm]p^{n}[/mm] = [mm](p^{m})^{s}[/mm] =
> > > [mm]p^{ms}.[/mm] Und daraus folgt: n = m*s. Also ist m ein Teiler
> > > von n.
> > Ja genau.
>
>
> Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
>
> Vielen Dank!!!
>
> VG, Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Sa 20.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe,
> Dann hab ich noch Fragen zur anderen Richtung "
> [mm]\Leftarrow":[/mm]
>
> > Dazu musst du die Polynome [mm]x^{p^n} - x \in (\IZ/p\IZ)[x][/mm]
> > betrachten; der Zerfaellungskoerper ist genau der bis auf
> > Isomorphie eindeutig bestimmte Koerper mit [mm]p^n[/mm] Elementen.
>
> Ich versteh nicht ganz, warum der Zerfällungskörper [mm]p^{n}[/mm]
> Elemente hat. Hat er nicht [mm]p^{m}[/mm] Elemente?
> Weil in meinem Skript steht:
> Ist K ein endlicher Körper, Char(K) = p mit [mm]p^{m}[/mm]
> Elementen. Dann ist K ein Zerfällungskörper von [mm]X^{p^{m}}[/mm] -
> X über [mm]\IZ[/mm] / (p) [X].
Das ist die falsche Richtung. Du brauchst: der Zerfaellungskoerper von [mm] $x^{p^m} [/mm] - x$ ueber [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] hat [mm] $p^m$ [/mm] Elemente.
Und wenn du nun oben das anschaust, was ich geschrieben hab: ich habe das Polynom [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$ erwaehnt. Also steht da ein $n$ und kein $m$, womit der Zerfaellungskoerper [mm] $p^n$ [/mm] Elemente hat.
> Dem nach hätte K doch [mm]p^{m}[/mm] Elemente oder?
Und ich habe auch nie behauptet, dass $K$ der Zerfaellungskoerper von [mm] $x^{p^n} [/mm] - x$ ist. Das ist naemlich gerade $L$ (nach der von dir zitierten Aussage oben).
$K$ ist der Zerfaellungskoerper von [mm] $x^{p^m} [/mm] - x$ ueber [mm] $\IZ/p\IZ$.
[/mm]
> >
> > Zeige folgendes: wenn [mm]m[/mm] ein Teiler von [mm]n[/mm] ist, so ist
> > [mm]x^{p^m} - x[/mm] ein Teiler von [mm]x^{p^n} - x[/mm].
>
> Da habe ich versucht, Polynomdivision zu machen, aber da
> komm ich zu keinem Ende. Kann man das auch irgendwie anders
> machen?
So schwer ist es nicht: erstmal kannst du aus beiden $x$ rausteilen und willst also [mm] $x^{p^n-1} [/mm] - 1$ durch [mm] $x^{p^m-1} [/mm] - 1$ teilen. Dann ist [mm] $p^m [/mm] - 1$ ein Teiler von [mm] $p^n [/mm] - 1$, und deswegen kannst du [mm] $p^n [/mm] - 1 = [mm] (p^m [/mm] - 1) [mm] \cdot [/mm] k$ schreiben fuer ein $k [mm] \in \IN$. [/mm] Mit $y := [mm] x^{p^m-1}$ [/mm] ist also [mm] $x^{p^n-1} [/mm] - 1 = [mm] y^k [/mm] - 1$, und das teilst du durch [mm] $x^{p^m-1} [/mm] - 1 = y - 1$. Das solltest du hinbekommen.
Warum [mm] $p^m [/mm] - 1$ ein Teiler von [mm] $p^n [/mm] - 1$ ist: Das geht genauso. Da $m$ ein Teiler von $n$ ist, kannst du [mm] $p^n [/mm] = [mm] (p^m)^\ell$ [/mm] schreiben fuer ein [mm] $\ell \in \IN$. [/mm] Mit $z := [mm] p^m$ [/mm] ist dann [mm] $p^n [/mm] - 1 = [mm] z^k [/mm] - 1$ und [mm] $p^m [/mm] - 1 = z - 1$, und nun ist [mm] $z^k [/mm] - 1 = (z - 1) (1 + z + [mm] z^2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] z^{k-2} [/mm] + [mm] z^{k-1})$.
[/mm]
> > Und dann ueberlege dir, dass daraus folgt, dass [mm]L[/mm] einen
> > Unterkoerper mit [mm]p^m[/mm] Elementen hat und dass dieser isomorph
> > zu [mm]K[/mm] ist. Die Verkettung des Isomorphismus mit der
> > Inklusion des Unterkoerpers in [mm]L[/mm] ergibt dann den
> > Homomorphismus.
>
> Wenn [mm]\gamma:[/mm] K [mm]\to[/mm] M Isomorphimus und i: M [mm]\to[/mm] L die
> Inklusion des Unterkörpers in L, dann ist der gesuchte
> Körperhom. [mm]\phi[/mm] = i [mm]\circ \gamma[/mm] oder?
Genau.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
danke für deine hilfreiche Antwort. Ich hab auch alles verstanden, was du mir geschrieben hast.
Wenn man gezeigt hat, dass [mm] x^{p^{m}} [/mm] - x ein Teiler von [mm] x^{p^{n}} [/mm] - x ist, dann sollte ich mir überlegen, dass daraus folgt, dass L einen Unterkörper M mit [mm] p^{m} [/mm] Elementen besitzt, der isomorph zu K ist.
Das ist doch so, weil der Zerfällungskörper K von [mm] x^{p^{m}} [/mm] - x [mm] p^{m} [/mm] Elemente hat, und weil [mm] x^{p^{m}} [/mm] - x ein Teiler von [mm] x^{p^{n}} [/mm] - x ist, dann hat L einen Unterkörper mit [mm] p^{m} [/mm] Elementen.
Dieser ist isomorph zu K.
Stimmt meine Überlegung so?
Dann hab ich noch eine Frage: Zu zeigen war ja, dass es genau einen Körperhom. gibt. Muss ich dann da noch die Eindeutigkeit zeigen? Oder folgt die Eindeutigkeit schon aus dem, was gezeigt wurde?
Vielen Dank für deine Hilfe!!
Liebe Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Sa 20.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe,
> danke für deine hilfreiche Antwort. Ich hab auch alles
> verstanden, was du mir geschrieben hast.
> Wenn man gezeigt hat, dass [mm]x^{p^{m}}[/mm] - x ein Teiler von
> [mm]x^{p^{n}}[/mm] - x ist, dann sollte ich mir überlegen, dass
> daraus folgt, dass L einen Unterkörper M mit [mm]p^{m}[/mm]
> Elementen besitzt, der isomorph zu K ist.
>
> Das ist doch so, weil der Zerfällungskörper K von [mm]x^{p^{m}}[/mm]
> - x [mm]p^{m}[/mm] Elemente hat, und weil [mm]x^{p^{m}}[/mm] - x ein Teiler
> von [mm]x^{p^{n}}[/mm] - x ist, dann hat L einen Unterkörper mit
> [mm]p^{m}[/mm] Elementen.
> Dieser ist isomorph zu K.
>
> Stimmt meine Überlegung so?
ja, sie stimmt.
> Dann hab ich noch eine Frage: Zu zeigen war ja, dass es
> genau einen Körperhom. gibt. Muss ich dann da noch die
> Eindeutigkeit zeigen? Oder folgt die Eindeutigkeit schon
> aus dem, was gezeigt wurde?
Du musst nicht zeigen, dass es genau einen Koerperhomomorphismus gibt! Die Aussage ist: ``Genau dann _gibt_ es einen Koerperhomomorphismus, wenn ... gilt.''
Im uebrigen gibt es genau $m$ solche Homomorphismen (das ist die Anzahl der Automorphismen von $K$). Aber das brauchst du jetzt nicht zu zeigen.
LG Felix
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