Körpererweiterungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 06.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Warum gibt es ein Minimalpolynom? |
Es geht hier um Körpererweiterungen L/K. Man sucht das Minimalpolynom eines [mm] a\in [/mm] L-K. Warum gibt es ein solches?
Ich denke dafür muss man erstmal annehmen dass a algebraisch ist über K.
angeblich ist die Antwort mithilfe der Dimension und des Dimensionssatzes zu finden. Leider weiss ich nicht welcher Dimensionssatz damit gemeint ist.
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Di 06.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Warum gibt es ein Minimalpolynom?
> Es geht hier um Körpererweiterungen L/K.
Ich vermute mal, sie soll endlich sein. Ansonsten muss es kein Minimalpolynom geben, siehe $L = K(x)$ mit $x$ einer Unbestimmten.
> Man sucht das
> Minimalpolynom eines [mm]a\in[/mm] L-K. Warum gibt es ein solches?
> Ich denke dafür muss man erstmal annehmen dass a
> algebraisch ist über K.
> angeblich ist die Antwort mithilfe der Dimension und des
> Dimensionssatzes zu finden. Leider weiss ich nicht welcher
> Dimensionssatz damit gemeint ist.
Welcher Dimensionssatz gemeint ist kann ich dir auch nicht sagen, aber:
Du kannst $L$ als $K$-Vektorraum auffassen, und die lineare $K$-Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$, $x [mm] \mapsto [/mm] a x$ betrachten. Da $L$ endlichdimensional ist (als $K$-Vektorraum) gibt es das charakteristische Polynom [mm] $\chi_\varphi$, [/mm] welches nach Cayley-Hamilton [mm] $\chi_\varphi(\varphi) [/mm] = 0$ erfuellt. Wenn man sich jetzt ueberlegt, was das heisst, sieht man, dass [mm] $\chi_\varphi(a) [/mm] = 0$ ist. Damit gibt es ein normiertes Polynom, welches $a$ als Nullstelle hat. Das Minimalpolynom von $a$ ist uebrigens gleich dem Minimalpolynom von [mm] $\varphi$ [/mm] (bzw. dem einer Darstellungsmatrix davon).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Di 06.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Man sucht das
> > Minimalpolynom eines [mm]a\in[/mm] L-K. Warum gibt es ein solches?
> > Ich denke dafür muss man erstmal annehmen dass a
> > algebraisch ist über K.
> > angeblich ist die Antwort mithilfe der Dimension und des
> > Dimensionssatzes zu finden. Leider weiss ich nicht welcher
> > Dimensionssatz damit gemeint ist.
>
> Welcher Dimensionssatz gemeint ist kann ich dir auch nicht
> sagen, aber:
Alternativ:
Betrachte die Folge $1, a, [mm] a^2, a^3, a^4, \dots$.
[/mm]
Entweder ist sie linear abhaengig ueber $K$ -- dann gibt es eine Relation [mm] $\sum_{i=0}^\infty \lambda_i a^i$ [/mm] mit [mm] $\lambda_i \in [/mm] K$, nur endlich viele davon [mm] $\neq [/mm] 0$, aber mindestens eins. Aber dann ist $f = [mm] \sum_{i=0}^\infty a_i x^i \in [/mm] K[x]$ ein Polynom ungleich 0 mit $f(a) = 0$.
Oder die Folge ist linear unabhaengig, dann muss [mm] $\dim_K [/mm] L = [mm] \infty$ [/mm] sein.
LG Felix
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