Körpererweiterungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 18.01.2009 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Seien [mm] k_1 \subset k_2 \subset k_3 [/mm] Körpererweiterungen.
Jetzt muss ich folgende Aussagen beweisen oder widerlegen:
1) [mm] k_3/k_1 [/mm] einfach [mm] \Rightarrow k_3/k_2 [/mm] einfach
2) [mm] k_2 [/mm] algebraisch abgeschlossen [mm] \Rightarrow k_3 [/mm] algebraisch abgeschlossen
3) a [mm] \in k_3 [/mm] algebraisch über [mm] k_1 \Rightarrow a^{-1} [/mm] algebraisch über [mm] k_3
[/mm]
4) [mm] char(k_1)=7 \Rightarrow char(k_2)\le7 [/mm] |
Hallo ihr Lieben.
Kommen mit obigen Aufgaben leider nicht zurecht.
Muss ja erstmal rausfinden, ob diese Aussagen stimmen oder nicht.
zu1) Würde sage die Aussage stimmt. Die Körpererweiterung [mm] k_3/k_1 [/mm] ist ja schon einfach und wenn [mm] k_2 [/mm] Zwischenkörper ist, muss ja auch zwingend [mm] k_3/k_2 [/mm] einfach sein, oder?
zu 2) hier habe ich leider keine Ahnung :-(
zu 3) denke die Aussage stimmt.Begründen kann ichs leider nicht. weiß nur, wenn [mm] a\in k_3 [/mm] dann ist auch [mm] a^{-1} [/mm] in [mm] k_3. [/mm] Wenn a [mm] \in k_3 [/mm] algebraisch über [mm] k_1 [/mm] dann ist doch doch [mm] k_1(a) [/mm] eine endliche Körperwerweiterung und insbesondere einfach...aber ich weiß nicht, was mir das bringt?
zu 4)
Auch hier fehlt mir auch leider jeglicher Ansatz. Würde vermuten dass die Aussage richtig ist.
Ich hoffe jemand kann mir hier auf die Sprünge helfen. komme alleine leider nicht weiter.
viele grüße, die Kittie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 18.01.2009 | | Autor: | kittie |
hallo, ich bins nochmal...
Leider bin ich immernoch nicht weitergekommen.
Hoffe jemand von euch kann mir weiterhelfen. Alleine bekomme ich das nicht hin.
vg, die kittie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 18.01.2009 | | Autor: | fenchel |
Hallo,
zu 1) [mm] k_3/k_1 [/mm] einfach [mm] \Rightarrow k_3/k_2 [/mm] einfach. Ich würde sagen dass es stimmt.
Nimm z.B. [mm] k_1=\IQ, k_2=\IQ(\wurzel{2}), k_3=\IQ(\wurzel{2})(\wurzel{3})= \IQ(\wurzel{2}+\wurzel{3}).
[/mm]
Also ist [mm] k_3 [/mm] über [mm] k_1 [/mm] einfach, und [mm] k_3 [/mm] über [mm] k_2 [/mm] ist es auch. Ist nur ein Beispiel. Müsste man dann noch beweisen.
Gruss
fenchel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Aber ist das denn wirklich immer so ?
Schließlich gilt ja nur für endliche separable KE L/K, dass ein primitives Element a [mm] \in [/mm] L existiert mit L=K(a)...Es könnte also endliche nicht separable KE geben, die dies nicht erfüllen...
Kann jemand vielleicht weiterhelfen ? Würde mich auch interessieren. Danke!
VG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Mo 19.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Aber ist das denn wirklich immer so ?
Genau so wie in der Situation gerade? Nein, es muss ja a priori nicht [mm] $k_2 [/mm] / [mm] k_1$ [/mm] einfach sein. (Falls doch waer das erst zu beweisen.)
> Schließlich gilt ja nur für endliche separable KE L/K,
> dass ein primitives Element a [mm]\in[/mm] L existiert mit
> L=K(a)...Es könnte also endliche nicht separable KE geben,
> die dies nicht erfüllen...
> Kann jemand vielleicht weiterhelfen ? Würde mich auch
> interessieren. Danke!
Wenn [mm] $k_3 [/mm] / [mm] k_1$ [/mm] einfach ist, gibt es ein $x [mm] \in k_3$ [/mm] mit [mm] $k_3 [/mm] = [mm] k_1(x)$. [/mm] Womit natuerlich auch [mm] $k_3 [/mm] = [mm] k_2(x)$ [/mm] gilt, also [mm] $k_3 [/mm] / [mm] k_2$ [/mm] einfach ist.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Mo 19.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seien [mm]k_1 \subset k_2 \subset k_3[/mm] Körpererweiterungen.
>
> Jetzt muss ich folgende Aussagen beweisen oder widerlegen:
>
> 1) [mm]k_3/k_1[/mm] einfach [mm]\Rightarrow k_3/k_2[/mm] einfach
>
> 2) [mm]k_2[/mm] algebraisch abgeschlossen [mm]\Rightarrow k_3[/mm]
> algebraisch abgeschlossen
>
> 3) a [mm]\in k_3[/mm] algebraisch über [mm]k_1 \Rightarrow a^{-1}[/mm]
> algebraisch über [mm]k_3[/mm]
Soll es algebraisch ueber [mm] $k_3$ [/mm] oder algebraisch ueber [mm] $k_1$ [/mm] sein? Da [mm] $a^{-1}$ [/mm] sowieso in [mm] $k_3$ [/mm] liegt ist es naemlich trivialerweise algebraisch ueber [mm] $k_3$...
[/mm]
> 4) [mm]char(k_1)=7 \Rightarrow char(k_2)\le7[/mm]
> Hallo ihr
> Lieben.
>
> Kommen mit obigen Aufgaben leider nicht zurecht.
> Muss ja erstmal rausfinden, ob diese Aussagen stimmen oder
> nicht.
>
> zu1) Würde sage die Aussage stimmt. Die Körpererweiterung
> [mm]k_3/k_1[/mm] ist ja schon einfach und wenn [mm]k_2[/mm] Zwischenkörper
> ist, muss ja auch zwingend [mm]k_3/k_2[/mm] einfach sein, oder?
Nun, das sollst du zeigen. Einfach sagen dass es zwingend so sein muss aendert nichts daran, dass du keinen Beweis angegeben hast.
> zu 2) hier habe ich leider keine Ahnung :-(
Nun, sagen wir mal [mm] $k_2$ [/mm] ist algebraisch abgeschlossen. Wenn daraus folgen wuerde dass [mm] $k_3$ [/mm] algebraisch abgeschlossen ist, so muesste ja jede Koerpererweiterung eines algebraisch abgeschlossenen Koerpers wieder algebraisch abgeschlossen sein. Ist das so?
> zu 3) denke die Aussage stimmt.Begründen kann ichs leider
> nicht. weiß nur, wenn [mm]a\in k_3[/mm] dann ist auch [mm]a^{-1}[/mm] in [mm]k_3.[/mm]
> Wenn a [mm]\in k_3[/mm] algebraisch über [mm]k_1[/mm] dann ist doch doch
> [mm]k_1(a)[/mm] eine endliche Körperwerweiterung und insbesondere
> einfach...aber ich weiß nicht, was mir das bringt?
Und [mm] $a^{-1}$ [/mm] liegt ebenfalls in [mm] $k_1(a)$, [/mm] weil es eine Koerpererweiterung ist. Damit ist die Erweiterung [mm] $k_1(a^{-1})$ [/mm] von [mm] $k_1$ [/mm] eine Untererweiterung von [mm] $k_1(a)$ [/mm] (bzw. sogar identisch zu ihr), also ebenfalls eine endliche Erweiterung. Folgt daraus bereits, dass [mm] $a^{-1}$ [/mm] algebraisch ueber [mm] $k_1$ [/mm] ist?
> zu 4)
> Auch hier fehlt mir auch leider jeglicher Ansatz. Würde
> vermuten dass die Aussage richtig ist.
Was ist denn die Charakteristik eines Koerpers? Wie ist sie definiert und wovon haengt sie ab? Was passiert wenn man zwei Koerper hat die sich einander enthalten, kann sich da bei der Charakteristik was aendern?
LG Felix
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Hallo Felix,
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> > zu 2) hier habe ich leider keine Ahnung :-(
>
> Nun, sagen wir mal [mm]k_2[/mm] ist algebraisch abgeschlossen. Wenn
> daraus folgen wuerde dass [mm]k_3[/mm] algebraisch abgeschlossen
> ist, so muesste ja jede Koerpererweiterung eines
> algebraisch abgeschlossenen Koerpers wieder algebraisch
> abgeschlossen sein. Ist das so?
>
> LG Felix
>
Hast du da zufällig ein Gegenbsp. zur Hand?
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Mo 19.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo schachuzipus
> > Nun, sagen wir mal [mm]k_2[/mm] ist algebraisch abgeschlossen. Wenn
> > daraus folgen wuerde dass [mm]k_3[/mm] algebraisch abgeschlossen
> > ist, so muesste ja jede Koerpererweiterung eines
> > algebraisch abgeschlossenen Koerpers wieder algebraisch
> > abgeschlossen sein. Ist das so?
>
> Hast du da zufällig ein Gegenbsp. zur Hand?
Ja: sei [mm] $k_2$ [/mm] irgendein algebraisch abgeschlossener Koerper und [mm] $k_3 [/mm] := [mm] k_2(x)$, [/mm] also der rationale Funktionenkoerper in einer Unbestimmten ueber [mm] $k_2$. [/mm] In [mm] $k_3$ [/mm] hat das Polynom $f := [mm] t^2 [/mm] - [mm] x^2 \in k_3[/mm] [t]$ etwa keine Loesung, wie man einfach mit Hilfe der Gradfunktion [mm] $\deg [/mm] : [mm] k_3^* \to \IZ$, $\frac{f}{g} \mapsto \deg [/mm] f - [mm] \deg [/mm] g$ sehen kann (diese ist ein Homomorphismus, und eine Nullstelle von $f$ muesste Grad [mm] $\frac{1}{2} \not\in \IZ$ [/mm] haben).
LG Felix
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