Körpererweiterung,modulo... < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Do 15.01.2009 | | Autor: | eumel |
Hallo zusammen :)
ich habe immer noch ein paar probleme bzgl rechnen in bsp.weise diesem körper:
[mm] L=\bruch{\IZ_{2}[X]}{(X^2+X+1)}.
[/mm]
[mm] \IZ={\overline{0},\overline{1}} [/mm] wobei 1+1=0.....
[mm] \IZ[X]={\overline{0},\overline{1},x,x+1,x^2+1, x^2+x+1} [/mm] oder?
und [mm] L={\overline{0},\overline{1},x,x+1,x^2+1} [/mm] ??
wie kann ich hierbei zeigen, dass L ein körper ist? ich hab damit echt noch meine schwierigkeiten ^^
schönen abend noch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo!
Bei Restklassenringen hilft in solchen Fällen immer der Satz:
Sei Ring
R/(p) ist Körper gdw (p) ist maximales Ideal in R
R/(p) ist Int-Ring gdw (p) ist Primideal in R
Es ist also zu zeigen, dass (X²+X+1) maximales Ideal in [mm] \IZ_{2}[X] [/mm] ist.
Desweiteren ist [mm] \IZ_{2}[X] [/mm] HIR. Für HIR gilt:
p irreduzibel [mm] \gdw. [/mm] p prim [mm] \gdw. [/mm] (p) ist maximales Ideal
Jetzt solltest du weiterkommen.
VG
Christian
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