Körpererweiterung Minimalpoly < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei K/k eine endliche Körpererweiterung. Für [mm] a\in [/mm] K bezeichen [mm] r_{a}:K\rightarrow [/mm] K die k-lineare Abbildung [mm] r_{a}(x)=ax. [/mm] Zeigen Sie: Ist K=k(a) eine einfache Körpererweiterung, so ist das Minimalpolynom von a über k gleich dem charakteristischen Polynom von [mm] r_{a}. [/mm] |
Hallo,
also ich habe hierfür mal wieder einen Beweis vorliegen, der mir relativ unverständlich bzw. zumindest unvollständig wirkt. Man wähle mit [mm] B_{K}=\{1,a,...,a^{n}\} [/mm] eine k-Basis von K. Sei nun [mm] \chi_{r_{a}} [/mm] das charakteristische Polynom von [mm] r_{a}. [/mm] Dann gilt nach dem Satz von Cayley-Hamilton: [mm] \chi_{r_{a}}(r_{a})(x)=0 [/mm] für alle x, also auch [mm] \chi_{r_{a}}(r_{a})(1)=\chi_{r_{a}}(a)=0. [/mm] Demnach teilt das Minimalpolynom von a das Polynom [mm] \chi_{r_{a}}. [/mm] Bis hierhin ist es einigermaßen okay, auch wenn ich nicht sicher bin, ob man das mit dem charakteristischen Polynom und dem Einsetzen von [mm] r_{a} [/mm] gerade so machen darf wie hier gemacht. Aber wenn das dann wirklich auch =0 für alle x ist, stimmt es sicherlich, dass a auch Nullstelle ist.
Nun steht hier nur noch: Da die Grade der Polynome (also [mm] \chi_{r_{a}} [/mm] und die des MiPos von a) gleich sind und beide normiert sind, folgt die Gleichheit.
Woher weiß man denn nun, dass die Grade gleich sind? Wenn dem so ist, ist mir die Aussage natürlich völlig klar.
Sieht man das irgendwie an der Basis? Es wurde auch noch irgendwie garnicht verwendet, dass die Körpererweiterung einfach ist. Kann man das nicht ausführlicher machen? Ich sehe nicht, wie.
Ich kann vllt dazu sagen, dass ich unter der Bedingung, dass die Körpererweiterung K/k endlich ist, schon gezeigt habe, dass das Minimalpolynom von [mm] r_a [/mm] mit dem von a über k übereinstimmt. Von dem Standpunkt aus müsste ich nur noch zeigen, dass in dem vorliegenden Beweis das charakteristische Polynom von [mm] r_a [/mm] bereits das Minimalpolynom ist und wäre fertig. Allerdings weiß ich da eben auch wieder nicht, wie ich das angehen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:12 Mo 20.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K/k eine endliche Körpererweiterung. Für [mm]a\in[/mm] K
> bezeichen [mm]r_{a}:K\rightarrow[/mm] K die k-lineare Abbildung
> [mm]r_{a}(x)=ax.[/mm] Zeigen Sie: Ist K=k(a) eine einfache
> Körpererweiterung, so ist das Minimalpolynom von a über k
> gleich dem charakteristischen Polynom von [mm]r_{a}.[/mm]
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> also ich habe hierfür mal wieder einen Beweis vorliegen,
> der mir relativ unverständlich bzw. zumindest
> unvollständig wirkt. Man wähle mit
> [mm]B_{K}=\{1,a,...,a^{n}\}[/mm] eine k-Basis von K. Sei nun
> [mm]\chi_{r_{a}}[/mm] das charakteristische Polynom von [mm]r_{a}.[/mm] Dann
> gilt nach dem Satz von Cayley-Hamilton:
> [mm]\chi_{r_{a}}(r_{a})(x)=0[/mm] für alle x, also auch
> [mm]\chi_{r_{a}}(r_{a})(1)=\chi_{r_{a}}(a)=0.[/mm] Demnach teilt das
> Minimalpolynom von a das Polynom [mm]\chi_{r_{a}}.[/mm] Bis hierhin
> ist es einigermaßen okay, auch wenn ich nicht sicher bin,
> ob man das mit dem charakteristischen Polynom und dem
> Einsetzen von [mm]r_{a}[/mm] gerade so machen darf wie hier gemacht.
> Aber wenn das dann wirklich auch =0 für alle x ist, stimmt
> es sicherlich, dass a auch Nullstelle ist.
Ja.
> Nun steht hier nur noch: Da die Grade der Polynome (also
> [mm]\chi_{r_{a}}[/mm] und die des MiPos von a) gleich sind und beide
> normiert sind, folgt die Gleichheit.
>
> Woher weiß man denn nun, dass die Grade gleich sind? Wenn
> dem so ist, ist mir die Aussage natürlich völlig klar.
>
> Sieht man das irgendwie an der Basis? Es wurde auch noch
> irgendwie garnicht verwendet, dass die Körpererweiterung
> einfach ist. Kann man das nicht ausführlicher machen? Ich
> sehe nicht, wie.
Nun, $[k(a) : k]$ ist immer gleich dem Grad des Minimalpolynoms von $a$ ueber $k$, denn ist dieses gleich $f$, so ist $k(a) [mm] \cong [/mm] k[x]/(f)$, und somit $[k(a) : k] = [mm] \dim_k [/mm] k(a) = [mm] \dim_k [/mm] k[x]/(f) = [mm] \deg [/mm] f$.
Nun fasst du $K$ als $k$-Vektorraum auf und betrachtest den Endomorphismus [mm] $r_a$. [/mm] Das char. Polynom davon hat also den Grad [mm] $\dim_k [/mm] K = [mm] \dim_k [/mm] k(a)$.
LG Felix
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Hallo,
> Nun, [mm][k(a) : k][/mm] ist immer gleich dem Grad des
> Minimalpolynoms von [mm]a[/mm] ueber [mm]k[/mm], denn ist dieses gleich [mm]f[/mm], so
> ist [mm]k(a) \cong k[x]/(f)[/mm], und somit [mm][k(a) : k] = \dim_k k(a) = \dim_k k[x]/(f) = \deg f[/mm].
>
> Nun fasst du [mm]K[/mm] als [mm]k[/mm]-Vektorraum auf und betrachtest den
> Endomorphismus [mm]r_a[/mm]. Das char. Polynom davon hat also den
> Grad [mm]\dim_k K = \dim_k k(a)[/mm].
Warum hat das charakteristische Polynom denn gerade diesen Grad? Also das gilt [mm] \dim_k K=\dim_k [/mm] k(a) ist natürlich klar, aber ich verstehe nicht, warum das gerade der Grad des charakteristischen Polynoms sein soll.
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 20.09.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> > Nun, [mm][k(a) : k][/mm] ist immer gleich dem Grad des
> > Minimalpolynoms von [mm]a[/mm] ueber [mm]k[/mm], denn ist dieses gleich [mm]f[/mm], so
> > ist [mm]k(a) \cong k[x]/(f)[/mm], und somit [mm][k(a) : k] = \dim_k k(a) = \dim_k k[x]/(f) = \deg f[/mm].
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> >
> > Nun fasst du [mm]K[/mm] als [mm]k[/mm]-Vektorraum auf und betrachtest den
> > Endomorphismus [mm]r_a[/mm]. Das char. Polynom davon hat also den
> > Grad [mm]\dim_k K = \dim_k k(a)[/mm].
>
> Warum hat das charakteristische Polynom denn gerade diesen
> Grad? Also das gilt [mm]\dim_k K=\dim_k[/mm] k(a) ist natürlich
> klar, aber ich verstehe nicht, warum das gerade der Grad
> des charakteristischen Polynoms sein soll.
Es geht um eine endliche Körpererweiterung vom Grad n z. B. Und a ist ein erzeugendes Element. Dann hat das MP von a natürlich den Grad n, denn sonst würde a nur einen kleineren Körper erzeugen. Und die Matrix von [mm] r_a [/mm] ist eine nxn-Matrix, weil K ja ein n-dimensionaler VR über k ist. Also hat das charakteristische Polynom auch Grad n.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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