Körpererweiterung 3 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Do 18.12.2008 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Es sei L/K eine Körpererweiterung. Der Körper K habe p Elemente und der Körper L habe q. Zeige dann, dass es ein [mm] m\in\IN [/mm] gibt mit [mm] q=p^m.
[/mm]
(Hinweis: L ist Vektorraum über K) |
Hallo alle zusammen,
also ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll und habe auch ehrlich gesagt keine Ahnung, was ich mit dem Hinweis anfangen soll.
Bitte um Hilfe.
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Do 18.12.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Es sei L/K eine Körpererweiterung. Der Körper K habe p
> Elemente und der Körper L habe q. Zeige dann, dass es ein
> [mm]m\in\IN[/mm] gibt mit [mm]q=p^m.[/mm]
> (Hinweis: L ist Vektorraum über K)
> Hallo alle zusammen,
> also ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich an diese
> Aufgabe rangehen soll und habe auch ehrlich gesagt keine
> Ahnung, was ich mit dem Hinweis anfangen soll.
> Bitte um Hilfe.
Was ein Vektorraum (VR) ist und daß L ein K-VR ist, das ist dir hoffentlich klar. Hier sind wir durchgehend im Endllichen zugange, also hat L eine Basis der Länge n. Also kann ich jedes Element aus L auf genau eine Weise als Linearkombination [mm] $\lambda_1*l_1$ [/mm] + ... + [mm] $\lambda_n*l_n$ [/mm] darstellen mit Koeffizienten [mm] \lambda_i [/mm] aus K.
Jetzt kannst du die Anzahl der Elemente in L aus der Anzahl der Möglichkeiten für die Koeffizienten berechnen. Wie und warum? Damit ich nicht alles machen muß, hör ich hier mal auf.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 18.12.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo Dieter,
ich verstehe zwar, dass man die Anzahl der Elemente in L durch die Anzahl der Möglichkeiten für die Koeffizienten theoretisch berechnen kann, aber wie genau soll das denn gehen??? Wenn ich weiss, dass L genau q Elemente hat, was kann ich jetzt daraus für die [mm] \lambda_i [/mm] schliessen???
Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Do 18.12.2008 | | Autor: | statler |
Hallo, Mahlzeit!
> ich verstehe zwar, dass man die Anzahl der Elemente in L
> durch die Anzahl der Möglichkeiten für die Koeffizienten
> theoretisch berechnen kann, aber wie genau soll das denn
> gehen??? Wenn ich weiss, dass L genau q Elemente hat, was
> kann ich jetzt daraus für die [mm]\lambda_i[/mm] schliessen???
Du weißt, daß K genau p Elemente hat, q willst du erst ausrechnen. Das heißt aber doch, für jedes [mm] \lambda_i [/mm] gibt es eben p Möglichkeiten. Und - das ist ganz wichtig - 2 verschiedene Zusammenstellungen der [mm] $\lambda_i\ [/mm] 's$ ergeben verschiedene Elemente von L, eben weil es sich um eine Basis handelt.
Jetzt denk noch mal nach, es ist wichtig, daß du weißt, was eine Basis in einem VR bedeutet.
Hinweis: Du weißt doch auch, was für q rauskommen soll.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 18.12.2008 | | Autor: | Docy |
Hallo Dieter (mal wieder ^^),
also was ich nicht so ganz verstehe ist, warum es für die [mm] \lambda_i [/mm] jeweils p Möglichkeiten gibt??? Ok, aber angenommen es ist so, dann kann man ja durch die Linearkombination der [mm] \lambda_1, [/mm] ..., [mm] \lambda_n [/mm] ja genau [mm] p^n [/mm] Zahlen darstellen, damit wäre [mm] q=p^n, [/mm] da ja die Darstellung eines Vektors durch die Basis eindeutig ist. Aber wie gesagt, kann ich noch nicht so ganz nachvollziehen, warum es eben p Möglichkeiten für [mm] \lambda_i [/mm] gibt, kannst du mir das bitte noch erklären?
Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:29 Fr 19.12.2008 | | Autor: | statler |
Also docy,
stellst du dich jetzt absichtlich dümmer an als du bist  oder ist es das berühmte Brett? Die [mm] $\lambda's$ [/mm] sind doch aus K und da völlig beliebig, und K hat p Elemente.
Ein Beispiel, weil es so einfach ist: Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Würfeln mit einem Würfel? Man hat 6 Zahlen zur Auswahl, und eine davon ist es. Hier hat man p Elemente zur Verfügung.
Na, fällt der Groschen jetzt?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:54 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Docy |
Oje, ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen (schäm). Jap, jetzt ist der Groschen gefallen. Noch mal Danke für die Geduld ^^
Gruß Docy
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