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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Di 08.01.2008 | | Autor: | Caroline |
Hi,
könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen?
Es sei [mm] F=X^{3} [/mm] X + 1 [mm] \in \IF_{3}[X]
[/mm]
a) Zeige, dass f irreduzibel.
b) Konstruiere Körpererweiterung L von [mm] \IF_{3}, [/mm] in der f eine Nullstelle [mm] \alpha [/mm] hat. Geben Sie eine Basis von [mm] L/\IF_{3} [/mm] an.
c) Bestimme das Minimalpolynom von [mm] \alpha^{2}+1 [/mm] über [mm] \IF_{3}
[/mm]
Also zu a)
Ich habe mir gedacht, falls f reduzibel muss es ja eine Zerlegung f=g*h geben mit g,h [mm] \in \IF_{3}[X] [/mm] \ [mm] \IF_{3}\*
[/mm]
Also muss ja (aus Gradgründen) F eine Nullstelle besitzen. Da wir ja praktisch nur 3 Koordinaten für den Einsetzungshomom. besitzen, habe ich mir gedacht, ich setze einfach alle 3 nacheinander ein. Bei allen drei kommt die Klasse von 1 heraus was nicht 0 ist und somit ist unsere Annahme falsch => f irreduzibel
(Hoffe ich kann es so machen, für mich klingt es sehr logisch  )
zu b)
Wir haben in der Vorlesung den Satz von Kronecker gemacht der besagt:
Seien K ein Körper f [mm] \in [/mm] K[X] irreduzibel. Dann ex. Ein Erweiterungskörper L/K und ein [mm] \alpha \in [/mm] L mit [mm] f(\alpha) [/mm] = 0 und L = [mm] K(\alpha) [/mm] [wobei [mm] K(\alpha) [/mm] der von [mm] \alpha [/mm] erzeugte Körper über K ist...].
So in dem Beweis zu dem Satz haben wir L:=K[X]/(f) gesetzt was nach einem vorherigen Satz ein Körper ist und K enthält.
Weiterhin haben wir im Beweis [mm] \alpha:=X [/mm] + (f) und haben dann [mm] f(\alpha) [/mm] = [mm] f(\overline{X}) [/mm] = [mm] \overline{f(X)} [/mm] = 0
Ich habe nun 2 Fragen zur b) reicht, wenn ich hinschreibe, dass der zu konstruierende Erweiterungskörper L = [mm] \IF_{3} [/mm] / (f) ist? Oder kann ich da noch etwas kürzen bzw. noch weiter ausrechnen?
Weiterhin habe ich den Schritt nicht verstanden in dem Beweis, indem unser Dozent folgendes macht: [mm] f(\overline{X}) [/mm] = [mm] \overline{f(X)} [/mm] also praktisch die Klasse nach außen holt. Mit welcher Begründung kann man dies tun?
Muss ich eigentlich auch noch [mm] \alpha=X [/mm] + (f) weiter ausrechen, oder reicht es wenn ich dies so lasse? Und wenn man es noch weiter ausrechen sollte, wie??
Naja zur Basis habe ich schon mal gar keinen Ansatz...
Und bei c) weiß ich leider auch keinen Ansatz... wie berechnet man ein Minimalpolynom? Ich weiß zwar, dass es ein eindeutig best. normiertes irreduzibles Polynom mit der obigen Nullstelle ist, aber wie kann ich es berechnen?
Ich hoffe ihr könnt mir wenigstens bei ein paar Fragen helfen... Die Aufgabe erschlägt mich mit Fragezeichen... :-(
Viele liebe Grüße
Caro
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Di 08.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Caro
> könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen?
>
> Es sei [mm]F=X^{3}[/mm] X + 1 [mm]\in \IF_{3}[X][/mm]
> a) Zeige, dass f irreduzibel.
> b) Konstruiere Körpererweiterung L von [mm]\IF_{3},[/mm] in der f
> eine Nullstelle [mm]\alpha[/mm] hat. Geben Sie eine Basis von
> [mm]L/\IF_{3}[/mm] an.
> c) Bestimme das Minimalpolynom von [mm]\alpha^{2}+1[/mm] über
> [mm]\IF_{3}[/mm]
>
> Also zu a)
>
> Ich habe mir gedacht, falls f reduzibel muss es ja eine
> Zerlegung f=g*h geben mit g,h [mm]\in \IF_{3}[X][/mm] \ [mm]\IF_{3}\*[/mm]
> Also muss ja (aus Gradgründen) F eine Nullstelle besitzen.
> Da wir ja praktisch nur 3 Koordinaten für den
> Einsetzungshomom. besitzen, habe ich mir gedacht, ich setze
> einfach alle 3 nacheinander ein. Bei allen drei kommt die
> Klasse von 1 heraus was nicht 0 ist und somit ist unsere
> Annahme falsch => f irreduzibel
Genau.
> (Hoffe ich kann es so machen, für mich klingt es sehr
> logisch )
Es ist auch logisch :) Dieses Kriterium funktioniert allerdings auch nur bei Polynomen von Grad 2 oder 3, ab Grad 4 ist es i.A. falsch.
> zu b)
> Wir haben in der Vorlesung den Satz von Kronecker
> gemacht der besagt:
>
> Seien K ein Körper f [mm]\in[/mm] K[X] irreduzibel. Dann ex. Ein
> Erweiterungskörper L/K und ein [mm]\alpha \in[/mm] L mit [mm]f(\alpha)[/mm] =
> 0 und L = [mm]K(\alpha)[/mm] [wobei [mm]K(\alpha)[/mm] der von [mm]\alpha[/mm]
> erzeugte Körper über K ist...].
Genau.
> So in dem Beweis zu dem Satz haben wir L:=K[X]/(f) gesetzt
> was nach einem vorherigen Satz ein Körper ist und K
> enthält.
>
> Weiterhin haben wir im Beweis [mm]\alpha:=X[/mm] + (f) und haben
> dann [mm]f(\alpha)[/mm] = [mm]f(\overline{X})[/mm] = [mm]\overline{f(X)}[/mm] = 0
Ja.
> Ich habe nun 2 Fragen zur b) reicht, wenn ich hinschreibe,
> dass der zu konstruierende Erweiterungskörper L = [mm]\IF_{3}[/mm] /
> (f) ist? Oder kann ich da noch etwas kürzen bzw. noch
> weiter ausrechnen?
Dir fehlt da ein $[X]$ :) Abgesehen davon ist's aber richtig und auch so kurz (und konkret) wie moeglich.
> Weiterhin habe ich den Schritt nicht verstanden in dem
> Beweis, indem unser Dozent folgendes macht:
> [mm]f(\overline{X})[/mm] = [mm]\overline{f(X)}[/mm] also praktisch die
> Klasse nach außen holt. Mit welcher Begründung kann man
> dies tun?
Das ist allgemeines Rechnen mit Restklassen: Wenn $f(X) = [mm] \sum_{i=0}^n a_i X^i$ [/mm] ist, dann ist [mm] $f(\overline{X}) [/mm] = [mm] sum_{i=0}^n a_i \overline{X}^i [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n \overline{a_i X^i} [/mm] = [mm] \overline{\sum_{i=0}^n a_i X^i} [/mm] = [mm] \overline{f(X)}$.
[/mm]
> Muss ich eigentlich auch noch [mm]\alpha=X[/mm] + (f) weiter
> ausrechen, oder reicht es wenn ich dies so lasse? Und wenn
> man es noch weiter ausrechen sollte, wie??
Weiter `ausrechnen' geht nicht, es sei denn du willst $f$ ausschreiben. Aber dadurch wird's nicht schoener...
> Naja zur Basis habe ich schon mal gar keinen Ansatz...
Kleiner Tipp: jedes Element aus $K[X]/(F)$ ist eindeutig durch $g + (f)$ darstellbar, wobei $g [mm] \in [/mm] K[X]$ mit [mm] $\deg [/mm] g < [mm] \deg [/mm] f$ ist (Division mit Rest). Somit ist $K[X]/(F)$ als $K$-Vektorraum isomorph zum $K$-Vektorraum der Polynome in $K[X]$ mit Grad $< [mm] \deg [/mm] f$.
> Und bei c) weiß ich leider auch keinen Ansatz... wie
> berechnet man ein Minimalpolynom? Ich weiß zwar, dass es
> ein eindeutig best. normiertes irreduzibles Polynom mit der
> obigen Nullstelle ist, aber wie kann ich es berechnen?
Mein `Lieblingsalgorithmus' ist folgender: Schaetze erstmal den Grad des Minimalpolynoms. In diesem Fall muss er 3 sein, da das Element nicht in $K$ liegt und da die Koerpererweiterung die Primzahl 3 als Grad hat (die Argumentation verlaeuft mit dem Gradsatz, falls ihr den schon hattet). In dem Fall berechnest du zuerst [mm] $(\alpha+1)^3$ [/mm] und [mm] $(\alpha+1)^2$ [/mm] (und stellst es als Linearkombination von [mm] $\alpha^2$, $\alpha$ [/mm] und $1$ dar: das ist uebrigens eine Basis der Koerpererweiterung) und versuchst dann, [mm] $(\alpha+1)^3$ [/mm] als Linearkombination (mit Koeffizienten in [mm] $\IF_3$) [/mm] von [mm] $(\alpha+1)^2$ [/mm] und [mm] $\alpha+1$ [/mm] und $1$ zu schreiben.
Wenn du eine solche Linearkombination [mm] $(\alpha+1)^3 [/mm] = [mm] \lambda_2 (\alpha+1)^2 [/mm] + [mm] \lambda_1 (\alpha+1) [/mm] + [mm] \lambda_0 [/mm] 1$ hast, dann ist $T - [mm] \lambda_2 T^2 [/mm] - [mm] \lambda_1 [/mm] T - [mm] \lambda_0 \in \IF_3[T]$ [/mm] ein Polynom mit [mm] $\alpha+1$ [/mm] als Nullstelle. Und da das Minimalpolynom Grad 3 haben muss (siehe oben), ist es somit das Minimalpolynom. Wenn du die Argumentation von oben nicht nutzen kannst, musst du andersweitig zeigen, dass es irreduzibel ist (wie das hier ganz einfach geht hast du ja schon bei (a) herausgefunden).
Damit es etwas anschaulicher wird, ein kleines Beispiel:
Sei $K = [mm] \IQ$ [/mm] und $L = [mm] \IQ(\sqrt{3})$, [/mm] und [mm] $\beta [/mm] = [mm] \sqrt{3} [/mm] + 2 [mm] \in [/mm] L$. Gesucht ist das Minimalpolynom von [mm] $\beta$ [/mm] ueber $K$. Da $[L : K] = 2$ ist muss der Grad 1 oder 2 sein, und da [mm] $\beta \not\in \IQ$ [/mm] ist muss er also 2 sein.
Nun ist [mm] $\beta^2 [/mm] = [mm] (\sqrt{3} [/mm] + [mm] 2)^2 [/mm] = 3 + 4 [mm] \sqrt{3} [/mm] + 4 = 7 + 4 [mm] \sqrt{3}$, [/mm] womit [mm] $\beta^2 [/mm] - 4 [mm] \beta [/mm] = (7 + 4 [mm] \sqrt{3}) [/mm] - 4 [mm] (\sqrt{3} [/mm] + 2) = 7 - 4 [mm] \cdot [/mm] 2 = -1$ ist. Somit ist [mm] $\beta^2 [/mm] = 4 [mm] \beta [/mm] - 1$, womit das Minimalpolynom [mm] $T^2 [/mm] - 4 T + 1 [mm] \in \IQ[T]$ [/mm] ist.
> Ich hoffe ihr könnt mir wenigstens bei ein paar Fragen
> helfen... Die Aufgabe erschlägt mich mit Fragezeichen...
> :-(
Ich hoffe, das hilft dir weiter!
LG Felix
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