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| Aufgabe | Betrachte den Körper K:= [mm] \IQ(\alpha), [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] die Gleichung [mm] \alpha^{3} [/mm] + [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] + 2 = 0 erfüllt.
Schreibe dann die Elemente x = [mm] (\alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] + 1) [mm] (\alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] und y = [mm] (\alpha-1)^{-1} [/mm] jeweils in der Form [mm] a\alpha^{2} [/mm] + [mm] b\alpha [/mm] + c mit a,b,c [mm] \in \IQ. [/mm] |
Hallo,
ich arbeite an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. x konnte ich bereits in der gewünschten Form darstellen, ich habe die Klammern aufgelöst und somit x = [mm] \alpha^{4} [/mm] + [mm] 2\alpha^{3} [/mm] + [mm] 2\alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha^{2} [/mm] bekommen. Dann habe ich die gegebene Gleichung nach [mm] \alpha^{4} [/mm] und [mm] \alpha^{3} [/mm] aufgelöst und eingesetzt. Damit habe ich x = -2 erhalten.
An y verzweifle ich jedoch. Ich habe versucht, die 1 auf sämtlich verschiedene Arten darzustellen und per Polynomdivision durch [mm] \alpha [/mm] - 1 zu teilen um das Inverse zu bekommen. Nachdem das nicht funktioniert hat, habe ich auch [mm] \alpha [/mm] - 1 umgeschrieben. Allerdings bekomme ich immer einen Rest raus und auch wenn ich den umforme und durch [mm] \alpha [/mm] - 1 teile kommt nichts Vernünftiges raus. Wär super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, wir brauchen wirklich die Punkte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 11.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> An y verzweifle ich jedoch. Ich habe versucht, die 1 auf
> sämtlich verschiedene Arten darzustellen und per
> Polynomdivision durch [mm]\alpha[/mm] - 1 zu teilen um das Inverse
> zu bekommen. Nachdem das nicht funktioniert hat, habe ich
> auch [mm]\alpha[/mm] - 1 umgeschrieben. Allerdings bekomme ich immer
> einen Rest raus und auch wenn ich den umforme und durch
> [mm]\alpha[/mm] - 1 teile kommt nichts Vernünftiges raus. Wär super,
> wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, wir brauchen
> wirklich die Punkte.
Du hast für das Inverse folgende Gleichung: [m](\alpha-1)*(a\alpha^2+b\alpha+c)=1[/m], wobei die rechte Gleichung das Inverse ist. Wenn du nun die Gleichung ausrechnest und die Relation für [m]\alpha^3[/m] einsetzt bekommst du mit Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem für [m]a,b,c[/m]. Das musst du dann lösen.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 So 11.01.2009 | | Autor: | glassdanse |
Naheliegende, aber mir offensichtlich doch so ferne Lösungsstrategie. Ich bedanke mich!
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