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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Fussel |
Liebe Mathematiker,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Nach eigenen gescheiterten Versuchen wäre ich auch schon sehr dankbar für eine Teillösung des Problems.
Es geht darum: In einen realen Innenraum, einem gewöhnlichen Zimmer, das die gewöhnliche Form eines Quaders hat, soll ein Körper eingebaut werden, der von einer Ecke zur diagonal gegenüberliegenden reicht. Er soll die beiden Ecken verdecken. Die drei Wandflächen, die sich in jeder Ecke treffen, sollen fortgesetzt werden zu einem in den Raum hineinragenden dreikantigen Profil oder Prisma. Die beiden Profile aus jeder Ecke sollen so miteinander verbunden werden, daß die drei Flächen und Kanten des einen Profils mit denen des anderen verbunden werden. Ich hoffe, man kann diese Beschreibung verstehen. Außer den drei Kanten soll der so in den Raum eingesetzte Körper keine weiteren Knicke haben und seine drei Flächen sollen abwickelbar sein.
Wie kan man so einen Körper konstruieren? Ich dachte mir, ich konstruiere ihn zur Vereinfachung erstmal aus geraden Flächen und runde die Knicke, die nicht sein sollen, später ab, d.h setze an ihrer Stelle Zylinderstücke ein.
Der erste Teil der Aufgabe lautet dann so:
In einen Raum, 238 cm hoch, 342 cm breit, 378 cm tief, soll ein Körper eingefügt werden bestehend aus zwei dreikantigen Profilen. Das eine soll an der Ecke hinten oben links, das andere vorne unten rechts eingefügt werden, so daß die konkaven Innenkanten des Raumes zusammentreffen mit den konvexe Außenkanten der Profile, und diese Kanten wiederum sollen miteinander verbunden werden (Natürlich kann ich nicht stattdessen einfach den Körper aus sechs Dreiecksflächen bilden, weil ich dann keine zylinderförmigen Rundungen mehr einsetzen kann). Die Profile sollen parallele Kanten mit gleichen Abständen haben, und diese sollen wiederum bei beiden Profilen gleich sein, d.h.m.a.W. die Profile sollen gleiche Querschnitte in Form eines gleichseitigen Dreiecks haben. (Wie groß der Abstand zwischen den parallelen Kanten sein soll, da kann ich mich noch nicht festlegen)
Ich bin mir ziemlich sicher, daß es eine Lösung gibt, für die alle diese Bedingungen erfüllt sind, weil ich mir ein Modell aus Papier gebastelt habe, wo es ganz danach aussah, aber wie kann man die Kantenlängen und Winkelgrößen berechnen, um sich zwei solche Profile "zuzuschneiden" (bei variabler Größe der Profile) ?
Viele Grüße,
Fussel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 So 20.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Oliver
aus deiner Aufgabe geht nicht ganz hervor, welche Bedingungen von dir stammen, und welche gegeben sind.
Wenn ich nur den unteren Teil deiner Fragestellung durchdenke, komme ich eigentlich auf folgende Ueberlegungen: in der Aufgabe wird nicht gesagt, dass die Kanten gerade sein müssen, nur dass sie parallel sind. Die einzelnen Windungen einer Schraube sind auch parallel, obwohl sie keine Geraden sind.
Wollte man ein dreikantiges Prisma konstruieren, das durch den Raum geht, dann müsste bei der Decke die Prismakante unten sein (Kopf anstossen ist gefährlich), hingegen bei der Bodenecke oben (drauftreten kann schmerzhat sein).
So ist man also gezwungen, das Prisma noch zu verdrehen!
Stelle dir einen Stapel Spielkarten vor, die aber dreieckig geschnitten sind. Du kannst jeder der Karten eine kleine Drehung versetzen, so dass die oberste Karte gerade um 60° gedreht ist. Das würde dann passen.
Du kannst die Drehung auch etwas heftiger machen, so dass die oberste Karte um 120° mehr gedreht ist, also insgesamt 180°. Oder nochmals 120° dazu. Dann sinds 300°. Oder 420°, oder 540°, 660° etc., immer 120° dazu. Das ganze Gebilde sieht dann, je mehr man dreht, einer Schraube immer ähnlicher!
Ich weiss nicht, ob dir diese Antwort etwas weiter hilft. Meine Vorstellungskraft sagt mir aber, dass ein soches Gebilde recht ästhetisch aussehen würde, und ich denke, die Erfordernisse der Aufgabe wären auch erfüllt.
Hat dir diese Antwort ein Wenig weiter geholfen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:41 Di 22.03.2005 | | Autor: | Fussel |
Liebe Leute,
Ich bin bildender Künstler und möchte eine Plastik gestalten für ein kleines Zimmer mit einer Höhe von 238 cm einer Breite von 342 cm und einer Tiefe von 378 cm, wobei ich mir die acht Ecken, zwölf Kanten und sechs Flächen dieses Kastens als elastische Bauteile denke, die ich beliebig auseinandernehmen und neu zusammensetzen kann.
In diesem Sinne sollen zwei gegenüberliegende Ecken, die eine hinten oben links, die andere vorne unten rechts, konvex in den Raum hinein umgestülpt werden. An jeder Ecke treffen sich ja drei Kanten und drei Flächen. Diese sollen bei den beiden umgestülpten Zipfeln auseinander gepflückt werden und die drei Kanten und Flächen von hinten oben links sollen mit den drei Kanten und Flächen von vorne unten rechts verbunden werden.
Der Raum hat dann zwei Ecken weniger und aus sechs Kanten und sechs Flächen werden drei Kanten und drei Flächen, und der Raum bekommt ein durchgehendes Loch. Oder positiv gesagt: Die Wände und der Boden kriegen einen Henkel.
Das ist meine Idee. Damit ist erst wenig darüber gesagt, wie das Ganze aussehen soll. Ich lege keinen Wert darauf, dass es so aussieht, als seien die Wände tatsächlich elastisch. Wie kann man so einen Henkel konstruieren, um ihn aus festem Material zu bauen?
Eine Möglichkeit wäre, ein dreikantiges Prisma in den Raum einzusetzen, das von einer Ecke zur anderen reicht und um 60° verdreht ist, damit seine Kanten an beiden Enden auf die gegebenen Innenkanten bei den Ecken treffen. Das Prisma müsste aus einzelnen dreieckigen Scheiben bestehen, um verdrehbar zu sein. Die Kanten zwischen den Flächen des Prismas und den Wänden des Zimmers müssten dann noch abgerundet werden, denn außer den schon vorhandenen, umgestülpten und verlängerten Kanten des Zimmers soll der Henkel keine weiteren Knicke haben.
Mir schwebt aber noch eine andere Möglichkeit vor, die mir einfacher realisierbar zu sein scheint, unter anderem weil die drei Flächen des Henkels dann abwickelbar wären:
Man nimmt die beiden Zipfel und steckt sie ineinander, so dass die einen drei Kanten die anderen drei berühren. Statt einer Drehung über die ganze Länge des Henkels hat man dann einen Knick in jeder Kante und jeder Fläche an der Verbindungsstelle. Außer dort sind die Kanten gerade. Die unerwünschten Knicke können anschließend abgerundet werden, indem man an ihrer Stelle Stücke von Zylinderwänden einsetzt.
Weitere einschränkende Bedingungen möchte ich allerdings noch dazunehmen:
Um perspektivische Täuschungen möglichst zu vermeiden, sollen alle Abstände, die gleich sein können, gleich sein und alle Kanten, die parallel sein können, sollen parallel sein.
Das soll heißen, dass die zwei verbundenen Stücke, aus denen der Henkel besteht, dreikantige Prismen mit gleich großen gleichseitigen Querschnitten sein sollen.
Wie groß der Abstand zwischen den parallelen Kanten sein soll, da kann ich mich noch nicht festlegen.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass es möglich ist, alle diese Bedingungen zu erfüllen, weil ich mir ein Modell aus Papier gebastelt habe, wo es ganz danach aussieht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber wie kann man die Kantenlängen und Winkelgrößen berechnen, um sich die zwei Prismen zuzuschneiden?
Das ist meine Frage. Nur um zu zeigen, dass ich nicht bloß faul bin und selber schon nach einer Lösung gesucht habe, schreibe ich meinen Ansatz mal hin:
Stellt man die Kanten eines Prismas in vektorieller Punkt-Richtungs-Form dar mit jeweils gleichen Richtungsvektoren, hat man die Kanten schon mal parallel und findet Schnittpunkte durch Gleichsetzen dieser Gleichungen.
A und B nenne ich hier mal die Schnittpunkte zweier Kanten eines Prismas mit den Innenkanten des Raumes und w den kleineren Winkel zwischen der Strecke AB und einer Kante.
Der Abstand d der Kanten ist dann
d=sin(w) AB
Den Richtungsvektor der Kanten nenne ich mal vec{a}. Will man keine Winkelgrößen in seiner Rechnung haben, kann man den Abstand d der Kanten auch so berechnen:
d = [mm] wurzel{AB^{2} (vec{AB}×vec{a} / a) ^{2}}
[/mm]
Habe ich das richtig geschrieben?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich dachte mir, ich könnte jetzt durch Umformen und Einsetzen eine Gleichung bilden, mit der ich alle Kantenlängen in Abhängigkeit von d berechnen kann. Ich bin aber nicht in der Lage, mir die Gleichungen so umzuformen.
Kann mir jemand helfen? Ich bin für jeden Tip oder Hinweis dankbar.
Viele Grüße,
Oliver
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Fussel |
PS.: So soll es in etwa aussehen ohne Abrundungen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:27 Do 24.03.2005 | | Autor: | Fussel |
Liebe Leute,
Ich habe diese Frage schon in einem anderen Forum gestellt, und zwar in "Uni-Sonstiges" (Diskussionsthema "Körperberechnung"). Ich glaube, hier liege ich richtiger damit.
Ich bin bildender Künstler und möchte eine Plastik gestalten für ein kleines Zimmer mit einer Höhe von 238 cm einer Breite von 342 cm und einer Tiefe von 378 cm, wobei ich mir die acht Ecken, zwölf Kanten und sechs Flächen dieses Kastens als elastische Bauteile denke, die ich beliebig auseinander pflücken und neu verknüpfen kann.
In diesem Sinne sollen zwei gegenüberliegende Ecken, die eine hinten oben links, die andere vorne unten rechts, konvex in den Raum hinein umgestülpt werden. An jeder Ecke treffen sich ja drei Kanten und drei Flächen. Diese sollen bei den beiden umgestülpten Zipfeln auseinander gepflückt werden und die drei Kanten und Flächen von hinten oben links sollen mit den drei Kanten und Flächen von vorne unten rechts verbunden werden.
Der Raum hat dann zwei Ecken weniger und aus sechs Kanten und sechs Flächen werden drei Kanten und drei Flächen, und der Raum bekommt ein durchgehendes Loch. Oder positiv gesagt: Die Wände und der Boden kriegen einen Henkel.
Das ist meine Idee. Damit ist erst wenig darüber gesagt, wie das Ganze aussehen soll. Ich lege keinen Wert darauf, dass es so aussieht, als seien die Wände tatsächlich elastisch. Wie kann man so einen Henkel konstruieren, um ihn aus festem Material zu bauen?
Eine Möglichkeit wäre, ein dreikantiges Prisma in den Raum einzusetzen, das von einer Ecke zur anderen reicht und um 60° verdreht ist, damit seine Kanten an beiden Enden auf die gegebenen Innenkanten bei den Ecken treffen. Das Prisma müsste aus einzelnen dreieckigen Scheiben bestehen, um verdrehbar zu sein. Die Kanten zwischen den Flächen des Prismas und den Wänden des Zimmers müssten dann noch abgerundet werden, denn außer den schon vorhandenen, umgestülpten und verlängerten Kanten des Zimmers soll der Henkel keine weiteren Knicke haben.
Mir schwebt aber noch eine andere Möglichkeit vor, die mir einfacher realisierbar zu sein scheint, unter anderem weil die drei Flächen des Henkels dann abwickelbar wären:
Man nimmt die beiden Zipfel und steckt sie ineinander, so dass die einen drei Kanten die anderen drei berühren. Statt einer Drehung über die ganze Länge des Henkels hat man dann einen Knick in jeder Kante und jeder Fläche an der Verbindungsstelle. Außer dort sind die Kanten gerade. Die unerwünschten Knicke können anschließend abgerundet werden, indem man an ihrer Stelle Stücke von Zylinderwänden einsetzt.
Weitere einschränkende Bedingungen möchte ich allerdings noch dazunehmen:
Um perspektivische Täuschungen möglichst zu vermeiden, sollen alle Abstände, die gleich sein können, gleich sein und alle Kanten, die parallel sein können, sollen parallel sein.
Das soll heißen, dass die zwei verbundenen Stücke, aus denen der Henkel besteht, dreikantige Prismen mit gleich großen gleichseitigen Querschnitten sein sollen.
Wie groß der Abstand zwischen den parallelen Kanten sein soll, da kann ich mich noch nicht festlegen.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass das es möglich ist, alle diese Bedingungen zu erfüllen, weil ich mir ein Modell aus Papier gebastelt habe, wo es ganz danach aussieht, aber wie kann man die Kantenlängen und Winkelgrößen berechnen, um sich die zwei Prismen zuzuschneiden?
Das ist meine Frage. Nur um zu zeigen, dass ich nicht bloß faul bin und selber schon nach einer Lösung gesucht habe, schreibe ich meinen Ansatz mal hin:
Stellt man die Kanten eines Prismas in vektorieller Punkt-Richtungs-Form dar mit jeweils gleichen Richtungsvektoren, hat man die Kanten schon mal parallel und findet Schnittpunkte durch Gleichsetzen dieser Gleichungen.
A und B nenne ich hier mal die Schnittpunkte zweier Kanten eines Prismas mit den Innenkanten des Raumes und ω den kleineren Winkel zwischen der Strecke AB und einer Kante.
Der Abstand d der Kanten ist dann
d=sinω AB
Den Richtungsvektor der Kanten nenne ich mal vec{a}. Will man keine Winkelgrößen in seiner Rechnung haben, kann man den Abstand d der Kanten auch so berechnen:
d = [mm] wurzel{AB^{2} (overrightarrow{AB} ×vec{a} / a) ^{2}}
[/mm]
Habe ich das richtig geschrieben?
Ich dachte mir, ich könnte jetzt durch Umformen und Einsetzen eine Gleichung bilden, mit der ich alle Kantenlängen in Abhängigkeit von d berechnen kann. Ich bin aber nicht in der Lage, mir die Gleichungen so umzuformen.
Kann mir jemand helfen? Ich bin für jeden Tip oder Hinweis dankbar.
Viele Grüsse,
Oliver
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Hallo, Oliver
ich hab Probleme, mir das vorzustellen.
Sähe das nach dem "einstülpen" der Ecken erstmal ungefähr so
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aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo Friedrich,
Tschuldige, natürlich wäre eine Zeichnung dazu hilfreich gewesen. Ja, so sähe es aus. Und so soll es ungefähr aussehen, wenn die Zipfel verbunden sind: [Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Oliver
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Fussel |
Danke, Loddar!
Gruß,
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Fussel |
Ähm... dies ist ein Versehen. Ich weiss nicht, wie ich diese mitteilung aus dem Strang wieder entfernen kann, tschuldigung.
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Fussel |
Hallo,
Ich habe die Grafik um die Bezeichnungen aus meiner Frage ergänzt, ich hatte geschrieben
A und B nenne ich hier mal die Schnittpunkte zweier Kanten eines Prismas mit den Innenkanten des Raumes und w den kleineren Winkel zwischen der Strecke AB und einer Kante.
Der Abstand d der Kanten ist dann
d=sin(w) AB
Den Richtungsvektor der Kanten nenne ich mal vec{a}. Will man keine Winkelgrößen in seiner Rechnung haben, kann man den Abstand d der Kanten auch so berechnen:
[mm]d = [mm] wurzel{AB^{2} (vec{AB}×vec{a} / a) ^{2}}[/mm] [mm]
Hier die Grafik dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier ist noch ein Bild von einem Modell. Sorry, falls es irritiert, aber hier ist der Knick andersrum als auf der Grafik.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Oliver
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Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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