Körperaxiome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Seinen x,y,z Zahlen in einem Körper. Man zeige mit den Körperaxiomen:
[mm] (1)\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}=\bruch{x+y}{x*y}
[/mm]
[mm] (2)\bruch{x}{y}*\bruch{y}{z}*\bruch{z}{x}=1 [/mm] |
Zu(1):
Wie soll ich das Beweisen? Eigentlich handelt es sich ja hier um einfache Erweiteung eines Bruchs. Also:
[mm] \bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}=\bruch{1}{x}*\bruch{y}{y}+\bruch{1}{y}*\bruch{x}{x}=\bruch{y}{xy}+\bruch{x}{yx}=\bruch{y}{xy}+\bruch{x}{xy}=\bruch{x+y}{xy}.
[/mm]
Geht das so oder benutze ich hier mehr als die Axiome? Bzw muss ich Zwischenschritte extra beweisen und wenn ja welche?
Zu(2):
Hier habe ich den Term einfach umgeschrieben, da gilt: [mm] x^{-1}=\bruch{1}{x}. [/mm] Also:
[mm] \bruch{x}{y}*\bruch{y}{z}*\bruch{z}{x}=x*y^{-1}*y*z^{-1}*z*x^{-1}=x*x^{-1}*y*y^{-1}*z*z^{-1}=1*1*1=1.
[/mm]
Geht das so?
Über Korrektur und Hinweise dazu ob ich zu "schnell" war wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Zerwas!
> Seinen x,y,z Zahlen in einem Körper. Man zeige mit den
> Körperaxiomen:
> [mm](1)\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}=\bruch{x+y}{x*y}[/mm]
> [mm](2)\bruch{x}{y}*\bruch{y}{z}*\bruch{z}{x}=1[/mm]
> Zu(1):
> Wie soll ich das Beweisen? Eigentlich handelt es sich ja
> hier um einfache Erweiteung eines Bruchs.
Du sollst hier zeigen, dass man das ``einfach so'' machen darf. Ihr habt wahrscheinlich [mm] $\frac{x}{y} [/mm] := x [mm] y^{-1}$ [/mm] definiert, oder? Also musst du zeigen, dass $1 [mm] \cdot x^{-1} [/mm] + 1 [mm] \cdot y^{-1} [/mm] = (x + y) [mm] \cdot [/mm] (x [mm] y)^{-1}$ [/mm] ist, und dass $x [mm] y^{-1} \cdot [/mm] y [mm] z^{-1} \cdot [/mm] z [mm] x^{-1} [/mm] = 1$ ist.
Du musst hier genau aufpassen, welche Axiome du anwendest (also etwa $(x [mm] y)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} y^{-1}$ [/mm] musst du evtl. erst auch noch beweisen, bevor du es verwendest).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
und genau da liegt mein problem ... wie kann ich zeigen, dass [mm] (xy)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}??? [/mm] :-[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Zerwas,
> und genau da liegt mein problem ... wie kann ich zeigen,
> dass [mm](xy)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}???[/mm] :-[
also $(x [mm] y)^{-1}$ [/mm] ist ja das eindeutig bestimmte Element $z [mm] \in [/mm] K$ mit $z (x y) = 1$. Damit also $(x [mm] y)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} y^{-1}$ [/mm] ist, musst du nachrechnen, dass [mm] $(x^{-1} y^{-1}) [/mm] (x y) = 1$ ist.
LG Felix
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