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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Sa 20.11.2004 | | Autor: | destiny |
Bestimmen Sie für n [mm] \ge1 [/mm] die Potenzen [mm] A^{n} [/mm] der Matrix A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }, [/mm] A [mm] \in \IR^{3,3}.
[/mm]
Danke schön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Bestimmen Sie für n [mm]\ge1[/mm] die Potenzen [mm]A^{n}[/mm] der Matrix A=
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 },[/mm] A [mm]\in \IR^{3,3}.
[/mm]
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> Danke schön!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Diese Aufgabe finde ich interessant, deswegen habe ich mal ein kleines bisschen rumgerechnet...
Man muss doch einfach nur die Matrizen immer weiter multiplizieren und dann gucken, welches System dahintersteckt. Und wenn einem das nicht reicht, kann man das Ergebnis noch mit Induktion beweisen.
Also, ich habe berechnet:
[mm] A^2=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^3=\pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 }
[/mm]
[mm] A^4=\pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 }
[/mm]
Weiter hatte ich dann keine Lust mehr, aber bis hierhin finde ich das schon ganz interessant:
Man sieht doch schon, dass sich A und [mm] A^3 [/mm] sehr ähneln - die Einträge haben sich einfach verdoppelt. Und bei [mm] A^2 [/mm] und [mm] A^4 [/mm] ist das genauso. Ich denke, da kann man eine Fallunterscheidung machen, für gerade n und für ungerade n. Und dann ist man auch schon fertig!
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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