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| Aufgabe | Ein Ring heißt nullteilerfrei, wenn aus ab = 0 folgt, dass a = 0 oder b = 0 ist. Zeigen Sie, dass
jeder K¨orper nullteilerfrei ist. |
ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen ansatz geben könnte, wie ich das beweisen kann, weil ich weiß net ma, wo anfangen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Ring heißt nullteilerfrei, wenn aus ab = 0 folgt, dass
> a = 0 oder b = 0 ist. Zeigen Sie, dass
> jeder K¨orper nullteilerfrei ist.
> ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen ansatz geben
> könnte, wie ich das beweisen kann, weil ich weiß net ma, wo
> anfangen.
Hallo,
nimm an, daß ab=0 ist und [mm] b\not=0, [/mm] und zieh daraus dann Deine Schlüsse. Bedenke, daß jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bzgl [mm] \* [/mm] hat.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | nimm an, daß ab=0 ist und $ [mm] b\not=0, [/mm] $ und zieh daraus dann Deine Schlüsse. Bedenke, daß jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bzgl $ * $ hat.
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ok dh wenn ich mit b^-1 multipliziere auf beiden seiten bekomm ich dass a=0 ist,oder?
muss ich dann das ganze noch annehmen für $ [mm] a\not=0, [/mm] $ und daraus folgt dann mit dem inversen für a dass b=0 ist?
und damit gilt das dann für jeden körper?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> nimm an, daß ab=0 ist und [mm]b\not=0,[/mm] und zieh daraus dann
> Deine Schlüsse. Bedenke, daß jedes von Null verschiedene
> Element ein Inverses bzgl [mm]*[/mm] hat.
>
> ok dh wenn ich mit b^-1 multipliziere auf beiden seiten
> bekomm ich dass a=0 ist,oder?
genau:
Sei $a*b=0$ und wir nehmen zunächst $b [mm] \not=0$ [/mm] an. Dann existiert im Körper ein Inverses bzgl. $*$, in der Notation [mm] $b^{-1}$, [/mm] mit der Eigenschaft [mm] $b*b^{-1}=b^{-1}*b=1$, [/mm] wobei $1$ das neutrale Element bzgl. $*$ im Körper sei.
Dann folgt aber (weil in jedem Körper gilt: Ist $0$ dass additiv neutrale Element und $k$ ein Element aus dem Körper, so ist 0*k=k*0=0) unter Beachtung der Voraussetzung 0=a*b:
[mm] $(\star)$ $0=0*b^{-1}=(a*b)*b^{-1}=a*(b*b^{-1})=a*1=a$
[/mm]
So könnte man das notieren (Überlege Dir die Begründung für jedes Gleichheitszeichen mit,je einer, geeigneten der vorhandenen Rechenregeln im Körper, die da wären:
Assoziativgesetz, Kommutativgesetz... und ich hoffe, Euch ist auch schon bekannt: 1*k=k*1=k).
> muss ich dann das ganze noch annehmen für [mm]a\not=0,[/mm] und
> daraus folgt dann mit dem inversen für a dass b=0 ist?
Das kann man natürlich machen. Einfacher ist es aber:
Gelte nun $a*b=0$ mit $a [mm] \not=0$. [/mm] Für $a [mm] \not=0$ [/mm] sei [mm] $a^{-1}$ [/mm] dass multiplikativ Inverse zu $a$. Dann gilt:
$a*b=b*a$ wegen des Kommutativgesetz bzgl. der Multipl. im Körper. Der Rest (also dass dann $b=0$ gelten muss) folgt dann aus [mm] $(\star)$, [/mm] wenn man dort die Rollen von $a$ und $b$ gegeneinander vertauscht.
> und damit gilt das dann für jeden körper?
Ja klar: Du hast ja bei der Rechnung nur die Körperaxiome verwendet.
Gruß,
Marcel
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